正三角形，正方形（碁盤），正六角形（蜂の巣）は２次元結晶であるが，正五角形は準結晶と考えることができる．

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【１】結晶と準結晶

　結晶と準結晶の違いは「高次元立方体」を使うと，同じ文脈の中で考えることができる．たとえば，立方体の平面への射影は平行六角形になるが，これが六角形が平面充填形となる理由である．５種類ある平行多面体が空間充填形であるのも，切頂八面体は６次元立方体の３次元空間への射影となっているからと理解することができる．同様に，長菱形１２面体は５次元立方体の，菱形１２面体と６角柱は４次元立方体の３次元空間への射影である．

　しかしながら，４次元立方体の平面への射影は八角形となり，平面を周期的に充填することはできない．そのため，非周期的な平面充填とならざるを得ないのである．有名なペンローズタイルは５次元立方体の平面への射影だから，非周期的なのである．

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　これでわかったことは，高次元立方体の射影とはいっても上限があり，（ｎ＋１，２）次元立方体を超えると準結晶にならざるを得ないということである．ところが，話が複雑になるのは（ｎ＋１，２）次元を下回っても結晶になるとは限らないからである．

　その例として，切頂八面体と菱形３０面体を考える．ともに平行な辺が６組あり，６次元立方体の３次元空間への射影なのであるが，前者は結晶，後者は準結晶である．また，長菱形１２面体と菱形２０面体ではともに平行な辺が５組あり，５次元立方体の３次元空間への射影なのであるが，前者は結晶，後者は準結晶である．

　それでは，（白銀）菱形１２面体と黄金菱形１２面体ではどうだろうか？　ともに平行な辺が４組あり，４次元立方体の３次元空間への射影なのであるが，両者とも空間図形となっている．面の形が白銀菱形か黄金菱形かにはよらないのである．

　これらのことから，ファセット数にも上限があり２（２^n−１）を超えると，結晶にはなり得ないことがわかる．また，頂点数にも上限があり（ｎ＋１）！を超えると，結晶にはなり得ない．

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【２】まとめ

　両者の境界線を引くことは難しいが，２次元に投影したときに平行四辺形・六辺形になるならば結晶，八辺形以上であれば準結晶とせざるを得たいようだ．

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