ルート系は，平面を鏡映三角形で埋めつくすというユークリッド幾何学の問題に帰着させることができます．

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【補】既約ルート系の分類

　１次独立な２つのルートα，βのなす角をθとすると，

　　（α，β）＝｜α｜｜β｜ｃｏｓθ

ただし，（α，β）＞０，｜α｜≦｜β｜，０＜θ≦π／２としても一般性を失いません．

　また，

　　２（α，β）／（α，α）＝〈α，β〉

と略記すると，

　　〈β，α〉＝２｜β｜／｜α｜ｃｏｓθ

が成立しますから，

　　〈α，β〉〈β，α〉＝４ｃｏｓ^2θ

が得られます．

　ここで，ルート系の定義から，〈α，β〉は整数ですから，

　　４ｃｏｓ^2θ＝０，１，２，３

したがって，

　　θ＝π／２，π／３，π／４，π／６

に限られます．

　このようにして，平面を鏡映三角形で埋めつくす問題を２つのベクトルα，βの長さと角度によって特徴づけると，R^2のベクトルの集合

　　Φ1＝｛α，β，α＋β｝

　　Φ2＝｛α，β，α＋β，２α＋β｝

　　Φ3＝｛α，β，α＋β，２α＋β，３α＋β，３α＋２β｝

を考えることができます．

　２つのベクトルα，βをルート系の基底，また，このようにして得られたベクトルの集合Φ1，Φ2，Φ3を階数２のルート系と呼びます．そのワイル群はそれぞれ３次対称群Ｓ3，位数８の２面体群Ｄ8，位数１２の２面体群Ｄ12となっています．

　また，平面を鏡映三角形で埋めつくす問題を一般の次元に拡張して，R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系となります．そのとき，ｎ次元単体の基底となるｎ個のベクトルの集合を

　　Φ＝｛α1，α2，・・・，αn｝

として，

　　〈αi，αj〉＝２（αi，αj）／（αj，αj）＝Ｃij

で与えられる整数をカルタン数，ｎ次正方行列Ｃ＝｛Ｃij｝をカルタン行列といいます．これはαjを長さ√２のベクトルとするとき，カルタン行列は内積（αi，αj）からなるグラミアンとして定義されることを意味しています．

　　θ　　｜β｜／｜α｜　〈α，β〉　〈β，α〉　〈α，β〉〈β，α〉

　π／２　　　　−　　　　　　０　　　　　０　　　　　　　０

　π／３　　　　１　　　　　　１　　　　　１　　　　　　　１

　π／４　　　　２　　　　　　１　　　　　２　　　　　　　２

　π／６　　　　３　　　　　　１　　　　　３　　　　　　　３

　カルタン行列では，この４つの場合分けが可能となるのですが，カルタン数はそれほど多くの値をとるわけではないので，その状況を端的に表すグラフ（ディンキン図形）を考えることができます．そして，〈α，β〉〈β，α〉，すなわち，

　　θ＝π／２・・・・結ばない

　　θ＝π／３・・・・辺−で結ぶ

　　θ＝π／４・・・・辺＝で結ぶ

　　θ＝π／６・・・・辺≡で結ぶ

と定めます．

　たとえば，Ａ3型，Ｄ4型，Ｅ8型のディンキン図形は，

　　　　　　３　　　　　　　　　１−２−３　　（Ａ3 ）

　　　　　／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　１−２　　　（Ｄ4 ）　　　　　　　　４　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　＼ 　　　　　　　　　　　　 ｜　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　４　　　　　　　　　１−２−３−５−６−７−８　　（Ｅ8 ）

と表されます．−で結ばれる辺がありますから，隣り合う２つのベクトルは角度６０°で交わり，隣り合わないベクトルは直交すること（内積＝０）を意味しています．また，

　　１＝２　（Ｂ2）　　１≡２　（Ｇ2）　　１−２＝３−４　（Ｆ4）

では，それぞれ角度４５°，３０°，６０°−４５°−６０°で交わると定めるのですが，このことを使うと既約ルート系の分類が可能になります．（注意：Ｂ2＝Ｃ2，Ａ3＝Ｄ3）

　既約なルート系はディンキン図形を用いて分類することができるのですが，逆にディンキン図形が与えられるとカルタン行列が計算できて，それに基づいてルート系を再構成できます．対角成分はすべて２，非対角成分は０，１，２，３に限られます．（実際は正ルートをとるので，０，−１，−２，−３になるのだが，ここでは便宜上０，１，２，３とした．）

　Ａ3型，Ｄ4型，Ｅ8型，Ｆ4型に対応するカルタン行列式は，それぞれ

　　｜２　１　０｜　　　｜２　１　０　０｜

　　｜１　２　１｜　　　｜１　２　１　１｜

　　｜０　１　２｜　　　｜０　１　２　０｜

　　　　　　　　　　　　｜０　１　０　２｜

　　｜２　１　０　０　０　０　０　０｜　　　｜２　１　０　０｜

　　｜１　２　１　０　０　０　０　０｜　　　｜１　２　２　０｜

　　｜０　１　２　１　１　０　０　０｜　　　｜０　１　２　１｜

　　｜０　０　１　２　０　０　０　０｜　　　｜０　０　１　２｜

　　｜０　０　１　０　２　１　０　０｜

　　｜０　０　０　０　１　２　１　０｜

　　｜０　０　０　０　０　１　２　１｜

　　｜０　０　０　０　０　０　１　２｜

　また，階数２のルート系のカルタン行列は，

　　　Ａ1×Ａ1　　　　Ａ2　　　　　Ｂ2　　　　　　Ｇ2

　　｜２　０｜　　｜２　１｜　　｜２　２｜　　｜２　３｜

　　｜０　２｜　　｜１　２｜　　｜１　２｜　　｜１　２｜

となります．Ｃk型カルタン行列はＢk型の転置行列です．

　ルート系の分類は，それ自体大変面白いものなのだそうですが，既約ルート系の同型類には，ＡからＧまでのアルファベットに，添字として階数をつけた名前が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になっています．

　ルートは鏡映を与えるベクトルとして理解することができるのですが，８次元ユークリッド空間において，８次元単体（４面体の拡張）を鏡映したものからなるモザイク模様に対してベクトルの集合を考えることによって，Ｅ8型ルート系が得られるというわけです．

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