ルート系の単純根をα，βとすると

［１］それらは線形独立なベクトルである（同一平面上にあると角度の和が３６０°になる）

［２］２α・β／α・αは非正の整数である

［３］単純根の系は分解不可能である（９０°のベクトルはひとつしか許されない）

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【１】分類定理

［１］３つのベクトルからなるルート系は

　・−・−・　　（９０°＋１２０°＋１２０°）

　・−・＝・　　（９０°＋１２０°＋１３５°）

の２つしかない．

　　　・

　　／　＼　　　（１２０°＋１２０°＋１２０°）

　・　− ・

　・−・≡・　　（９０°＋１２０°＋１５０°）

　・＝・＝・　　（９０°＋１３５°＋１３５°）

［２］≡（１５０°）をもつルート系は階数２のひとつしかない．

　・≡・　　（９０°＋１５０°）　

［３］・−・−α−β−・−・がルート系ならば，

　　　・−・−（α＋β）−・−・もルート系である．

［４］どのルート系も・＝・を２箇所以上含むことはない．

［５］どのルート系もループを含まない．

［６］　　　α

　　　　　／

　　Ａ−γ　　　　がルート系ならば，Ａ−γ＝（α＋β）もルート系である．

　　　　　＼

　　　　　　β

［７］ルート系において，可能な枝分かれは［６］の形のみである．

Ａ　　　α

　　　＼　／

　　γ　　は［６］により・＝・＝・に縮めることができるからである．

　　　／　＼

　　Ｂ 　　β

［８］どのルート系も，枝分かれと＝の両方，あるいは，枝分かれを２箇所含むことはできない．

［９］どのルート系も，

　　・−・−・−・−・　　　・−・−・−・−・−・−・

　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　｜

　　　　　　・　　　　　　　　　　　　　・

　　　　　　｜

　　　　　　・

　　・−・−・−・−・−・−・−・　　　・−・＝・−・−・

　　　　　　　　　　　　｜

　　　　　　　　　　　　・

を含むことはできない（∵（Σμα）^2＝０，線形従属）

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