これまで同様，菱形の鋭角が３つ集まって構成される頂点を原点として，この菱面格子の３つの基本ベクトルを

　　ａ↑＝（ｄ，１，０）

　　ｂ↑＝（ｄ，−１，０）

　　ｃ↑＝（ｘ，０，ｚ），ｘ^2＋ｚ^2＝ｄ^2＋１

とおきます．

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【１】切頂八面体の入れ子の計量

　菱形の鋭角が３つ集まって構成される２つの頂点

　　　（０，０，０），（２ｄ＋ｘ，０，ｚ）

までの距離は等しく

　　Ｒ^2＝（ｄ＋ｘ／２）^2＋（ｚ／２）^2＝（９ｄ^2−３）／４

です．

　２つの頂点を切頂して球に内接する多面体を作ったわけですが，菱形六面体を球に内接するように切頂すると，新たに正三角形面が２面できます．切頂によって新たにできる三角形は１辺の長さが２ｔの正三角形です．

　切頂によってできる正三角形面の座標は

　　（ｔｄ，ｔ，０），（ｔｄ，−ｔ，０），（ｔｘ，０，ｔｚ）

　　（２ｄ＋ｘ−ｔｄ，−ｔ，ｚ），（２ｄ＋ｘ−ｔｄ，ｔ，ｚ），（２ｄ＋ｘ−ｔｘ，０，ｚ−ｔｚ）

　すると，切頂によってできる正三角形面のそれぞれの中心（重心）は

　　（（２ｄ＋ｘ）ｔ／３，０，ｚｔ／３）

　　（（２ｄ＋ｘ）（１−ｔ／３），０，ｚ（１−ｔ／３））

と計算されます．この２点が新たな菱形六面体の頂点になります．

　それぞれの中心（重心）を通る球の半径ｒを求めてみると

　　ｒ^2＝｛（ｄ＋ｘ／２）^2＋（ｚ／２）^2｝（１−２ｔ／３）^2

　　　　＝Ｒ^2（１−２ｔ／３）^2

で与えられます．もとの菱形六面体との相似比ｓは

　　ｓ＝１−２ｔ／３，ｔ＝２（ｄ^2−１）／（ｄ^2＋１）

で与えられるというわけです．

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【２】入れ子の縮小

　デューラーの八面体の１２頂点の座標を（ｘ’，ｙ’，ｚ’）とすると，縮小デューラーの八面体の座標は（ｓｘ’，ｓｙ’，ｓｚ’）を正三角形面の中心（重心）

　　（（２ｄ＋ｘ）ｔ／３，０，ｚｔ／３）

に平行移動させなけれなりませんから，

　　ｘ”＝ｓｘ’＋（２ｄ＋ｘ）ｔ／３

　　ｙ”＝ｓｙ’

　　ｚ”＝ｓｚ’＋ｚｔ／３

　ただし，ここで

　　ｘ＝ｄ−１／ｄ，ｚ＝√（３−１／ｄ^2）

　　ｔ＝２（ｄ^2−１）／（ｄ^2＋１），ｓ＝１−２ｔ／３

で与えられることになります．

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【３】入れ子の回転

　次に，２つの頂点

　　　（０，０，０），（２ｄ＋ｘ，０，ｚ）

を結ぶ直線を軸として入れ子を天地逆転させることを考えます．

　ここで，単位ベクトル

　　ｎ↑＝（α,β,γ）　　　α，β，γは方向余弦で，α^2+β^2+γ^2＝１を満たすものとする．

　　（２ｄ＋ｘ）^2＋ｚ^2＝（３ｄ−１／ｄ）^2＋（３−１／ｄ^2）＝９ｄ^2＋９

　　α＝（２ｄ＋ｘ）／３（ｄ^2＋１）^1/2，β＝０，γ＝ｚ／３（ｄ^2＋１）^1/2

　それを回転軸とし，その周りに正の回転方向にθだけ回転する回転行列

　　R(1,1)=α^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(2,2)=β^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(3,3)=γ^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(1,2)=αβ(1-cosθ)+γsinθ

　　R(2,1)=αβ(1-cosθ)-γsinθ

　　R(1,3)=αγ(1-cosθ)-βsinθ

　　R(3,1)=αγ(1-cosθ)+βsinθ

　　R(2,3)=βγ(1-cosθ)+αsinθ

　　R(3,2)=βγ(1-cosθ)-αsinθ

で与えられる．［補］θ→−θとした公式もある．その場合，ｃｏｓθ→ｃｏｓθ，ｓｉｎθ→−ｓｉｎθとなる．

　天地逆転ではθ＝π／３であるから，

　　R(1,1)=α^2／２＋１／２

　　R(2,2)=β^2／２＋１／２

　　R(3,3)=γ^2／２＋１／２

　　R(1,2)=αβ／２＋γ√３／２

　　R(2,1)=αβ／２−γ√３／２

　　R(1,3)=αγ／２−β√３／２

　　R(3,1)=αγ／２＋β√３／２

　　R(2,3)=βγ／２＋α√３／２

　　R(3,2)=βγ／２−α√３／２

　さらに，β＝０であるから，回転行列Ｒは

Ｒ＝［α^2／２＋１／２，γ√３／２，αγ／２］

　　［−γ√３／２，１／２，α√３／２］

　　［αγ／２，−α√３／２，γ^2／２＋１／２］

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【４】入れ子の１２頂点の座標（ξ，η，ζ）

　　ｘ”＝ｓｘ’＋（２ｄ＋ｘ）ｔ／３

　　ｙ”＝ｓｙ’

　　ｚ”＝ｓｚ’＋ｚｔ／３

として

　　ξ＝（α^2＋１）／２・ｘ”＋γ√３／２・ｙ”＋αγ／２・ｚ”

　　η＝−γ√３／２・ｘ”＋１／２・ｙ”＋α√３／２・ｚ”

　　ζ＝αγ／２・ｘ”−α√３／２・ｙ”＋（γ^2＋１）／２・ｚ”

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