【１】菱形六面体の計量

　菱形の対角線の長さを２ｄと２，１＜ｄ＜√３とします．この菱形の鋭角をθとおくと

　　ｔａｎ（θ／２）＝１／ｄ　→　θ＝２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ）

で表されます（６０°＜θ＜９０°）．

　また，菱形の鋭角が３つ集まって構成される頂点を原点として，この菱面格子の３つの基本ベクトルを

　　ａ↑＝（ｄ，１，０）

　　ｂ↑＝（ｄ，−１，０）

　　ｃ↑＝（ｘ，０，ｚ），ｘ^2＋ｚ^2＝ｄ^2＋１

とおきます．

　次に，ｘとｚをｄで表してみることにしましょう．

　　ａ↑・ｃ↑＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓθ＝ｄｘ

より

　　ｘ＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓθ

　　　＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓ（２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ））

　　　＝（ｄ^2−１）／ｄ

　　ｚ^2＝ｄ^2＋１−ｘ^2＝３−１／ｄ^2

　菱形六面体の８頂点は

　　（０，０，０），（２ｄ＋ｘ，０，ｚ）

　　（ｄ，１，０），（ｄ，−１，０），（２ｄ，０，０）

　　（ｘ，０，ｚ），（ｄ＋ｘ，１，ｚ），（ｄ＋ｘ，−１，ｚ）

ですが，このように菱形六面体の計量値はすべてパラメータｄを用いて表すことができます．

　また，この中心座標は（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）で与えられます．

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【２】菱形六面体の切頂

　菱面体の中心の座標は（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）ですから，８頂点のうち６つ

　　（ｄ，１，０），（ｄ，−１，０），（２ｄ，０，０）

　　（ｘ，０，ｚ），（ｄ＋ｘ，１，ｚ），（ｄ＋ｘ，−１，ｚ）

までの距離Ｒはすべて等しく

　　Ｒ^2＝（ｘ^2＋ｚ^2）／４＋１＝（ｄ^2＋１）／４＋１

と計算されます．すなわち，これらは半径Ｒの同心球面上に位置します．

　しかし，菱形の鋭角が３つ集まって構成される２つの頂点

　　　（０，０，０），（２ｄ＋ｘ，０，ｚ）

はこの球には内接しません．そこで，この頂点を切頂して同心球面上に位置するようにします．

　球との交点を，パラメータｔ（０＜ｔ＜１）を用いて

　　（ｔｄ，ｔ，０），（ｔｄ，−ｔ，０），（ｔｘ，０，ｔｚ）

とすると，ｔは２次方程式

　　（ｄ^2＋１）ｔ^2−（３ｄ^2−１）ｔ＋２ｄ^2−２＝０

の解に帰着され

　　ｔ＝２（ｄ^2−１）／（ｄ^2＋１）

と計算されます．

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【３】デューラーの八面体の１２頂点の座標（ｘ’，ｙ’，ｚ’）

　　（ｄ，１，０），（ｄ，−１，０），（２ｄ，０，０）

　　（ｘ，０，ｚ），（ｄ＋ｘ，１，ｚ），（ｄ＋ｘ，−１，ｚ）

　　（ｔｄ，ｔ，０），（ｔｄ，−ｔ，０），（ｔｘ，０，ｔｚ）

　　（２ｄ＋ｘ−ｔｄ，−ｔ，ｚ），（２ｄ＋ｘ−ｔｄ，ｔ，ｚ），（２ｄ＋ｘ−ｔｘ，０，ｚ−ｔｚ）

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