３次元では，α3の基本単体とβ3の基本単体でγ3を構成することができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】正四面体

　正四面体の１／２４の直角四面体で，

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，√（１／３），１／２・√（２／３））

にとることができる．底面は（３０°，６０°，９０°）の直角三角形である．

　　ｃｏｓθ＝−ｂ1^2／｛ｂ1^2｝^1/2｛ｂ1^2＋ｂ2^2｝^1/2＝−１／２

　　ｃｏｓθ＝−ｂ2^2／｛ｂ1^2＋ｂ2^2｝^1/2｛ｂ2^2＋ｂ3^2｝^1/2＝−１／２

　　ｃｏｓθ＝−ｂ3^2／｛ｂ2^2＋ｂ3^2｝^1/2｛ｂ3^2｝^1/2＝−√６／３

二面角はこれらの補角をとる．

　その二面角は（９０°，９０°，９０°，６０°，６０°，３５．２６４４°）になる．→（６０°，６０°）→｛３，３｝

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】正八面体

　正八面体の１／４８の直角四面体で，

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，√（１／３），√（２／３））

にとることができる．底面は（３０°，６０°，９０°）の直角三角形である．高さは正四面体の基本単体の２倍である．

　　ｃｏｓθ＝−ｂ1^2／｛ｂ1^2｝^1/2｛ｂ1^2＋ｂ2^2｝^1/2＝−１／２

　　ｃｏｓθ＝−ｂ2^2／｛ｂ1^2＋ｂ2^2｝^1/2｛ｂ2^2＋ｂ3^2｝^1/2＝−１／√２

　　ｃｏｓθ＝−ｂ3^2／｛ｂ2^2＋ｂ3^2｝^1/2｛ｂ3^2｝^1/2＝−１／√３

二面角はこれらの補角をとる．

　その二面角は（９０°，９０°，９０°，６０°，４５°，５４．７６５６°）になる．→（６０°，４５°）→｛３，４｝

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】正四面体＋正八面体

　　ｃｏｓθ4＝−ｂ3^2／｛ｂ2^2＋ｂ3^2｝^1/2｛ｂ3^2｝^1/2＝−√６／３

　　ｃｏｓθ8＝−ｂ3^2／｛ｂ2^2＋ｂ3^2｝^1/2｛ｂ3^2｝^1/2＝−１／√３

　ａｒｃｃｏｓ（√６／３）＋ａｒｃｃｏｓ（√３／３）＝ａｒｃｃｏｓ（√２／３−１／√３・√６／３）＝０→直角

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝