【問】同じ大きさの正４面体２個を重ねた場合，その外側と内側にはどのような立体ができるでしょうか？

（答）この問題はダビデの星の３次元版です．頭の中でイメージできれば答は簡単なのですが，勘の働きにくい問題でもあります．

　上から見ても，前から見ても，横から見ても，同じ６角形に見える３次元図形を想像されたのではないでしょうか？　ところが正解は，同じ大きさの正４面体２個による相貫体にはケプラーの８角星という名前がつけられていて，外側に立方体（正方形６面），内側に正８面体（正３角形８面）をもっています．

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　ｎ次元超立方体の頂点をうまく結んで正軸体・正単体を作ることはできる場合があります．正軸体は中心を通るｎ本の互いに直交する直線上に等間隔に点をとった合計２ｎ点で作られます．したがって，座標（±１，±１，・・・，±１）（ｎ次元ベクトル）の中からうまくｎ個の互いに直交する組が選べれば正軸体ができます．

　これはアダマール行列を作るのと同一で，ｎが４の倍数であることが必要条件になります．逆にｎが４の倍数のとき，アダマール行列ができるか？は有名な未解決問題です（たぶんそうだろうと考えられ，かなり多くのｎについて正しいことがわかっています）．

　だから，ｎが４の倍数である場合にはうまく頂点を選んで正軸体ができる場合があります（ｎ＝４はもちろんだが，ｎ＝８など）．

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