あけましておめでとうございます．今年もＨＰで新年のご挨拶をすることにしました．最近は暗い話ばかりでしたが，少しは明るくなるでしょうか．今年もよろしくお願いいたします．

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【１】正多面体の巡礼

(1)正四面体の６個の辺の中点を結ぶと，正四面体の中に正八面体ができる．

　（この正八面体の体積はもとの正四面体の１／２である）

(2)正八面体の１２個の辺を黄金比で分割した点を結ぶと，正八面体の中に正２０面体ができる．

(3)正２０面体の２０個の面の重心を結ぶと，正２０面体の中に正１２面体ができる．

(4)正１２面体の８個の頂点を結ぶと，正１２面体の中に正六面体ができる．

(5)正六面体の４個の頂点を結ぶと，正六面体の中に正四面体ができる．

　（この正四面体の体積はもとの正六面体の１／３である）

　ここから(1)に戻り，正多面体の相互関係が巡回して現れる．一番外側に辺の長さ１の正１２面体をおくと，その内部に辺の長さφの立方体，その中に辺の長さφ√２の正四面体がはいる．この双対は正四面体の中に正八面体，正八面体の中に正２０面体がはいるもので，この関係は外側にも内側にも無限に続くことになる．

　　正１２面体＞立方体＞正四面体＞正八面体＞正２０面体

　ところで，ＰとＱを正多面体としてＰがＱに含まれるとき，体積比が最大となるＰとＱの組み合わせ方になっているのは(2),(4),(5)であって，(1),(3)は内接する最大の正多面体の組み合わせではない．それでは内接する最大の正多面体という相互関係だけで巡回することはできないだろうか？

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【２】最大巡回

　ＰとＱの組み合わせ方によって，全部で２０通りの場合があるが，そのうち１４通りについては解決済みである．

Ｑ＼Ｐ　　Ｔ　　Ｃ　　Ｏ　　Ｄ　　Ｉ

　Ｔ　　　○　　○　　　　　○　　　

　Ｃ　　　○　　　　　○　　○　　○

　Ｏ　　　○　　○　　　　　　　　○

　Ｄ　　　○　　○　　○　　　　　　

　Ｉ　　　　　　　　　○　　　　　　

　　正１２面体＞立方体＞正四面体

　　正八面体＞正２０面体

は解決済みであるから，

(1)正八面体＞正２０面体？正１２面体＞立方体＞正四面体

(2)正１２面体？正八面体＞正２０面体？立方体＞正四面体

(3)正１２面体＞立方体？正八面体＞正２０面体？正四面体

(4)正１２面体＞立方体＞正四面体？正八面体＞正２０面体

などが考えられる．

　(1)のＤ　ｉｎ　Ｉは未解決．(2)のＯ　ｉｎ　Ｄは解決済みであるが，Ｃ　ｉｎ　Ｉは未解決．(3)のＯ　ｉｎ　Ｃは解決済みであるが，Ｙ　ｉｎ　Ｉは未解決．(4)のＯ　ｉｎ　Ｔは解決済み．したがって，

　　正１２面体＞立方体＞正四面体＞正八面体＞正２０面体

はすべて解決済みであるが，正２０面体から正１２面体に戻ることができないので最大巡回とはならない．

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　Ｉ行で解決済みなのはＯ　ｉｎ　Ｉだけであるから，正２０面体＞正八面体は切り離すことができない．また，Ｄ列で解決済みなのはＤ　ｉｎ　Ｃだけであるから，立方体＞正１２面体も切り離さないでおく．

　そこで，

　　正２０面体＞正八面体

　　立方体＞正１２面体

　　正四面体

の組み合わせを考えてみたのだが，たとえば，

　　正２０面体＞正八面体＞立方体＞正１２面体＞正四面体

では正四面体から正２０面体に戻ることができないので最大巡回とはならない．

　他の５通りの組み合わせでもうまくいかないところをみると，体積比が最大となるような巡回は不可能と思われるのであるが，それを確認するためにはコンピュータプログラムを書いて虱潰しにあたってみるしかないだろう．次回の宿題としたい．

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