基本単体の二面角を整理すると

［１］正四面体：（９０°，９０°，９０°，６０°，６０°，３５．２６４４°）→（６０°，６０°）→｛３，３｝

［２］正八面体：（９０°，９０°，９０°，６０°，４５°，５４．７６５６°）→（６０°，４５°）→｛３，４｝

［３］立方体：（９０°，９０°，９０°，６０°，４５°，４５°）→（６０°，４５°）→｛３，４｝

［４］正二十面体：（９０°，９０°，９０°，６０°，３６°，６９．０９４９°）→（６０°，３６°）→｛３，５｝

［５］正十二面体：（９０°，９０°，９０°，６０°，３６°，５８．２８２６°）→（６０°，３６°）→｛３，５｝

　それそれがシュレーフリ記号，コクセター図形に対応していることがおわかり頂けるであろう．

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　これらを

αn：ａj＝√２／ｊ（ｊ＋１）

βn：ａj＝√２／ｊ（ｊ＋１），ａn＝√２／ｎ

などで与えられる超平面を使って求めてみたい．

　超平面の放線ベクトルは，１／ａj＝ｂjとして，

（−ｂ1，０，０）

（ｂ1，−ｂ2，０）

（０，ｂ2，−ｂ3）

（０，０，ｂ3）

などで与えられる．その二面角は

　　ｃｏｓθ＝−ｂ1^2／｛ｂ1^2｝^1/2｛ｂ1^2＋ｂ2^2｝^1/2

　　ｃｏｓθ＝−ｂ2^2／｛ｂ1^2＋ｂ2^2｝^1/2｛ｂ2^2＋ｂ3^2｝^1/2

　　ｃｏｓθ＝−ｂ3^2／｛ｂ2^2＋ｂ3^2｝^1/2｛ｂ3^2｝^1/2

以外は９０°である．

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【１】立方体

　立方体の１／４８の直角四面体で，

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，１，０）

　　Ｐ3（１，１，１）

にとることができる．底面は（４５°，４５°，９０°）の直角三角形である．

　　ｃｏｓθ＝−ｂ1^2／｛ｂ1^2｝^1/2｛ｂ1^2＋ｂ2^2｝^1/2＝−１／√２

　　ｃｏｓθ＝−ｂ2^2／｛ｂ1^2＋ｂ2^2｝^1/2｛ｂ2^2＋ｂ3^2｝^1/2＝−１／２

　　ｃｏｓθ＝−ｂ3^2／｛ｂ2^2＋ｂ3^2｝^1/2｛ｂ3^2｝^1/2＝−１／√２

二面角はこれらの補角をとる．

　この直角四面体はテトラドロンと（勝手に）呼んでいる図形であって，その二面角は（９０°，９０°，９０°，６０°，４５°，４５°）になる．

　９０°を除いた６０°，４５°，４５°が立方体の形を特徴づけるが，とくに６０°，４５°に負っていることがわかる．これを（π／３，π／４）→｛３，４｝と表現しているというわけである．

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