正三角形の切頂で考えると，直交方向の図形の伸縮では角度を保存できないことは明らかである．そこで，対称面との距離を計算するほうがよいと思われる．

　両者は方向余弦で変換可能であるかもしれないが，対称面との距離の場合，問題となるのは，中心からの距離である．線形性がないからだ．

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　中心Ｐn（ａ1，・・・，ａn）と切頂切稜面の距離を求める．

　　ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）

　　１／ａj＝ｂj，ｙ＝（ｙ0，・・・，ｙn）

とおく．３次元の例で表すが

［１／√ｂ1^2，−１／√ｂ1^2，０，０］

［０，１／√ｂ1^2＋ｂ2^2，−１／√ｂ1^2＋ｂ2^2，０］

［０，０，１／√ｂ2^2＋ｂ3^2，−１／√ｂ2^2＋ｂ3^2］

　　Ａｙ＝λｗ＝（λｍ0，・・・，λｍn-1）

を解く．

　切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn）＝（ａ1ｙ1，・・・，ａnｙn）

を通る．

ＰnＰ0＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）

ＰnＰ1＝（０，−ａ2，−ａ3，・・・，−ａn）

ＰnＰn-1＝（０，・・・，０，−ａn）

　ファセットを定めている不等式は，

　　ａ・ｘ＝ｃ

で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は

　　｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖

とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので

　　ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ｄ0‖，‖ｄ0‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　　ｈ0＝Σ(1,n)ａj^2（１−ｙj）／｛Σ(1,n)ａj^2｝^1/2

　ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，−ａ2，・・・，−ａn）

　　ｃ1＝−（ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｃ1＝−（ａ2^2ｙ2＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）

　　ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ｄ1‖，‖ｄ1‖＝（ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^1/2

　　ｈ1＝Σ(2,n)ａj^2（１−ｙj）／｛Σ(2,n)ａj^2｝^1/2

　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では

　　ａ＝（０，・・・，０，−ａn）

　　ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2

　　ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ｄn-1‖，‖ｄn-1‖＝（ａn^2）^1/2

　　ａn^2ｙn＝０

　　ｈn-1＝Σ(n,n)ａj^2（１−ｙj）／｛Σ(n,n)ａj^2｝^1/2

　辺の長さを規準辺１に規格化する．規準辺の長さは２λ．したがって，

　　Ｈk＝ｈk／２λ

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［まとめ］｛ｐ1，・・・，ｐn-1｝（ｍ0，・・・，ｍn-1）の場合もフラグの体積Ｖn-j-1Λjが計算できていれば，当該多面体の体積が計算できることはわかったが，それほど簡単にいかないようだ．

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