４次元空間における任意の軸のまわりの回転は，どのような式で表されるのだろうか．

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　３次元空間における回転において，球面上に不動点が少なくとも２点あったのに対し，４次元空間の場合は，超球面上のすべての点が動くことがわかっている．したがって，任意の平面の回りの回転

＝［１，０，０，０］

　［０，１，０，０

　［０，０，ｃ，−ｓ］

　［０，０，ｓ，ｃ］など６種類ある

とその平面に垂直な平面のまわりの回転を組み合わせなければならない．

　そのためには，任意の２つの単位ベクトル

　　ａ＝（ａ1，ａ2，ａ3，ａ4），ｂ＝（ｂ1，ｂ2，ｂ3，ｂ4）

で定まる平面のまわりにθ，それに垂直な平面のまわりにφ回転させることを考える．

［１］ａに垂直で，ａ，ｂで定まる平面上の単位ベクトルｄは

　　ｘ＝ｂ−（ａ・ｂ）ａ

　　ｄ＝ｘ／｜ｘ｜＝（ｄ1，ｄ2，ｄ3，ｄ4）　　　（シュミットの直交化法）

［２］変換行列は次式のようになる．

Ｒ（１，１）＝ｃ12Ａ11＋ｃ2

Ｒ（２，２）＝ｃ12Ａ22＋ｃ2

Ｒ（３，３）＝ｃ12Ａ33＋ｃ2

Ｒ（４，４）＝ｃ12Ａ44＋ｃ2

Ｒ（１，２）＝ｃ12Ａ12−ｓ1Ｂ12−ｓ2Ｂ34

Ｒ（２，１）＝ｃ12Ａ12＋ｓ1Ｂ12＋ｓ2Ｂ34

Ｒ（１，３）＝ｃ12Ａ13−ｓ1Ｂ13＋ｓ2Ｂ24

Ｒ（３，１）＝ｃ12Ａ13＋ｓ1Ｂ13−ｓ2Ｂ24

Ｒ（１，４）＝ｃ12Ａ14−ｓ1Ｂ14−ｓ2Ｂ23

Ｒ（４，１）＝ｃ12Ａ14＋ｓ1Ｂ14＋ｓ2Ｂ23

Ｒ（２，３）＝ｃ12Ａ23−ｓ1Ｂ23−ｓ2Ｂ14

Ｒ（３，２）＝ｃ12Ａ23＋ｓ1Ｂ23＋ｓ2Ｂ14

Ｒ（２，４）＝ｃ12Ａ24−ｓ1Ｂ24＋ｓ2Ｂ13

Ｒ（４，２）＝ｃ12Ａ24＋ｓ1Ｂ24−ｓ2Ｂ13

Ｒ（３，４）＝ｃ12Ａ34−ｓ1Ｂ34−ｓ2Ｂ12

Ｒ（４，３）＝ｃ12Ａ34＋ｓ1Ｂ34＋ｓ2Ｂ12

　ｃ1＝ｃｏｓθ，ｃ2＝ｃｏｓφ，ｃ12＝ｃ1−ｃ2，

　Ａij＝ａiａj＋ｄiｄj，Ｂij＝ａiｄ−ｄiａj

　４次元空間の図形なら，この行列による１回の変換だけでどの方向にも向けることができる．

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