ｎ次元多面体Ｐのデーン不変量は

　　Ｄ（Ｐ）＝Σ（ｎ−２次元面体積）×（二面角）

で定義される．

　αn：ｃｏｓδ＝１／ｎ，ｔａｎδ＝（ｎ^2−１）^1/2

　βn：ｃｏｓδ＝（２−ｎ）／ｎ，ｔａｎδ＝２（ｎ−１）^1/2／（２−ｎ）

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　ｐαn±ｑβn＝±ｒπ

が成り立つのは

ｎ＝３のとき（ｐ，ｑ，ｒ）＝（２，２，２）

ｎ＝４のとき（ｐ，ｑ，ｒ）＝（０，３，２）

ｎ＝８のとき（ｐ，ｑ，ｒ）＝（１，２，２）

　また，

　ｘＤ（αn）＋ｙＤ（βn）＝０　　　（ｍｏｄπ）

ｎ＝３のとき（ｘ，ｙ）＝（２，１）

ｎ＝４のとき（ｘ，ｙ）＝（０，１）

ｎ＝８のとき（ｘ，ｙ）＝（１９２０，１３５）

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　ｘＤ（αn）＋ｙＤ（βn）＝０　　　（ｍｏｄπ）

ｎ＝３のとき（ｘ，ｙ）＝（２，１）

　１次元面数はα3：６，β3：１２＝１：２

　２ａｒｃｃｏｓ（１／３）＋２ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝０　　　（ｍｏｄπ）

ｎ＝４のとき（ｘ，ｙ）＝（０，１）

　２次元面数は９６

　９６ａｒｃｃｏｓ（−１／２）＝０　　　（ｍｏｄπ）

ｎ＝８のとき（ｘ，ｙ）＝（１９２０，１３５）

　六次元面数はα8：（９，７）＝３６，β8：２^7（８，７）＝２^10

　二面角はａｒｃｃｏｓ（１／８），ａｒｃｃｏｓ（−６／８）

　ｘ，ｙもつけて定式化すると

　１９２０・２^2・３^2・ａｒｃｃｏｓ（１／８）＋１３５・２^10ａｒｃｃｏｓ（−６／８）

＝２^9・３^3・５ａｒｃｃｏｓ（１／８）＋２^10・３^3・５ａｒｃｃｏｓ（−６／８）

　　２ａｒｃｃｏｓ（−６／８）＝２π−ａｒｃｃｏｓ（１／８）

　　ａｒｃｃｏｓ（１／８）＋２ａｒｃｃｏｓ（−６／８）＝０　　　（ｍｏｄπ）

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