２４０点の内訳は単位点（ひとつの成分だけが±１）１６点，４個の成分が±１／２で他が０の点が１４×２^4＝２２４点である．

　この１４点は，

０（００００００００）　　　Ｆ（１１１１１１１１）

１（００００１１１１）　　　Ｅ（１１１１００００）

２（００１１００１１）　　　Ｄ（１１００１１００）

３（００１１１１００）　　　Ｃ（１１００００１１）

４（０１０１０１０１）　　　Ｂ（１０１０１０１０）

５（０１０１１０１０）　　　Ａ（１０１００１０１）

６（０１１００１１０）　　　９（１００１１００１）

７（０１１０１００１）　　　８（１００１０１１０）

の１〜Ｅのことである．

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【１】Ｅ8格子

　コクセターは，８次元空間において２個の正軸体と１個の正単体を組み合わせると空間充填形ができ，ケイリー整数の作る格子がその具体形であることを証明した．

　原点と単位点，実数成分が１／２で他の３個がすべて＋１／２である原点の隣点７点，

（０，０，０，０，０，０，０，０）

（１，０，０，０，０，０，０，０）

（１／２，１／２，１／２，１／２，０，０，０，０）Ｅ

（１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０，０）Ｄ

（１／２，１／２，０，０，０，０，１／２，１／２）Ｃ

（１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２，０）Ｂ

（１／２，０，１／２，０，０，１／２，０，１／２）Ａ

（１／２，０，０，１／２，１／２，０，０，１／２）９

（１／２，０，０，１／２，０，１／２，１／２，０）８

合計９点は辺長が１の正単体をなす．

　他方，原点と全成分が１／２の点

（０，０，０，０，０，０，０，０）０

（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）Ｆ

を軸として，両者から等距離にある４成分が１／２，他の成分が０である１４点，

（１／２，１／２，１／２，１／２，０，０，０，０）Ｅ

（１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０，０）Ｄ

（１／２，１／２，０，０，０，０，１／２，１／２）Ｃ

（１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２，０）Ｂ

（１／２，０，１／２，０，０，１／２，０，１／２）Ａ

（１／２，０，０，１／２，１／２，０，０，１／２）９

（１／２，０，０，１／２，０，１／２，１／２，０）８

とその反転

（０，０，０，０，１／２，１／２，１／２，１／２）１

（０，０，１／２，１／２，０，０，１／２，１／２）２

（０，０，１／２，１／２，１／２，１／２，０，０）３

（０，１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２）４

（０，１／２，０，１／２，１／２，０，１／２，０）５

（０，１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０）６

（０，１／２，１／２，０，１／２，０，０，１／２）７

合計１６点が辺長１の正軸体を作り，隙間なく全空間を覆うのである．

　あとは±をつけて１４×２^4＝２２４点となる．

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［まとめ］２４０点の座標はわかったが，これではまだ正軸体２個と正単体１個が合わさり，正単体が１７２８０個，正軸体が２１６０個となる状況がわかったわけではない．

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