３次元と同様，ｎ次元多面体Ｐのデーン不変量は

　　Ｄ（Ｐ）＝Σ（ｎ−２次元面体積）×（二面角）

で定義される．

　αn：ｃｏｓδ＝１／ｎ，ｔａｎδ＝（ｎ^2−１）^1/2

　βn：ｃｏｓδ＝（２−ｎ）／ｍ，ｔａｎδ＝２（ｎ−１）^1/2／（２−ｎ）

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　ｐαn±ｑβn＝±ｒπ

が成り立つのは

ｎ＝３のとき（ｐ，ｑ，ｒ）＝（２，２，２）

ｎ＝４のとき（ｐ，ｑ，ｒ）＝（０，３，２）

ｎ＝８のとき（ｐ，ｑ，ｒ）＝（２，１，２）

　また，

　ｘＤ（αn）＋ｙＤ（βn）＝０　　　（ｍｏｄπ）

ｎ＝３のとき（ｘ，ｙ）＝（２，１）

ｎ＝４のとき（ｘ，ｙ）＝（０，１）

ｎ＝８のとき（ｘ，ｙ）＝（１９２０，１３５）

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［まとめ］２次元において正三角形は平面充填形であるが，３次元以上で正単体のデーン不変量は０ではないので，正単体は空間充填多面体にはならない．一方，４次元において正軸体のデーン不変量は０となり，実際、空間充填が可能である．

　また，

　ｐαn±ｑβn＝±ｒπ

ｎ＝８のとき（ｐ，ｑ，ｒ）＝（２，１，２）

　ｘＤ（αn）＋ｙＤ（βn）＝０　　　（ｍｏｄπ）

ｎ＝８のとき（ｘ，ｙ）＝（１９２０，１３５）

　実際，コクセターは，８次元空間において２個の正軸体と１個の正単体を組み合わせると空間充填形ができ，ケイリー整数の作る格子がその具体形であることを証明した．

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