τ8の２４０個の点はＥ8型の単純リー代数の２４０個のルート格子で実現されます．また，τ24の１９６５６０個の点はリーチ格子の原点から一番近い点の集合として得られることが知られています．

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　まず，３次元の場合，単位球のまわりに面心立方格子状に単位球を置いた場合の接触点

1/√2（±１，±１，０）

1/√2（±１，０，±１）

1/√2（０，±１，±１）

を考えてみると，これら１２個の相異なる２点に対応するベクトルの内積は，−１，±１／２，０のいずれかであり，したがって，その間の角度（球面距離）は６０度以上となりますから，これらの点で接するように１２個の単位球を置くことができます．したがって，３次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τ3≧１２は直ちにわかります．

　４次元の場合はどうなるでしょうか？　２４個の面心立方格子状配置の接触点

1/√2（±１，±１，０，０）

1/√2（±１，０，±１，０）

1/√2（±１，０，０，±１）

1/√2（０，±１，±１，０）

1/√2（０，±１，０，±１）

1/√2（０，０，±１，±１）

で重ならないように置けるので，τ4≧２４は明らかです．

　８次元になると面心立方格子に十分な隙間ができるので，１１２個の面心立方格子状配置の接触点

1/√2（０，・・・，±１，０，・・・，±１，０・・・）　　　（±１の個数は２つ）

と１２８個の隙間の点

1/√8（±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１）　　　（＋の個数は偶数）

に同じ大きさの球が詰め込み可能になります．

　８次元の球の最大接触数τ8については，τ8の２４０個の点はＥ8型の単純リー代数の２４０個のルート格子で実現されます．さらに，この詰め込みの断面が６次元と７次元のもっとも効率のいい格子状詰め込みを与えてくれます．

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