【１】ｎ次元超立方体

　ｎ次元ユークリッド空間において，１辺の長さが１の立方体[-1/2,1/2]^nをｎ次元単位立方体といいます．その体積は１ですが，もっとも離れた２頂点を結ぶ対角線の長さはｎ次元ユークリッド空間の距離の定義から

　　√（１^2＋１^2＋・・・＋１^2）＝√ｎ

となります．したがって，次元ｎが大きくなると対角線の長さ√ｎはどんどん大きくなり，身長１７０ｃｍの人間はおろか，ついには地球でさえ含むことができるようになります．

　辺の長さが４の正方形に４つの単位円板を詰めると，４つの円板で囲まれた部分に，第５の小さな円を入れることができます．また，辺の長さが４の立方体の８つのカドに単位球を８個詰めると，中にできる隙間に第９の小さな球を入れることができます．ピタゴラスの定理によって第５の円，第９の球の半径はそれぞれ√２−１，√３−１だとわかります．

　これと同じことを４次元以上の空間で行うことができます．もはやイメージすることは不可能ですが，１辺の長さが４の４次元超立方体の１６個のカドに１６個の単位球を詰めると，中の隙間には半径√４−１＝１の４次元超球（すなわち単位球）が入ります．同様に，１辺の長さが４のｎ次元超立方体の２^n個のカドに単位球を詰めると，中の隙間に半径√ｎ−１のｎ次元超球が詰められるのです．

　しかし，ここの驚きが潜んでいます．たとえば，ｎ＝９の場合，中に詰められるｎ次元超球の半径は√９−１＝２であり，この球は外側の立方体の表面に接してしまい，ｎ＞９だとはみ出してしまうのです．この驚くべき結論は，日常生活ではありえないだけに面食らってしまいます．

　次元とともにはみ出る部分が増えているのですが，球の詰め込みに関するこのはみ出し現象は，モーザーのパラドックスとして知られているものです．この逆説は，人間の直観や勘は３次元までの世界では働きますが，４次元以上の高次元についてはあまり働かないという例として，しばしば引き合いに出されます．

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【２】ｎ次元超立方体格子

　４次元単純立方格子を考えます．単位球を

　　（０，０，０，０）

　　（０，１，０，０）

・・・・・・・・・

　　（１，１，１，１）

におきます．すると対角線上の点

　　（１／２，１／２，１／２，１／２）

にも単位球を置くことができます．

　９次元単純立方格子を考えます．単位球を

　　（０，０，０，０，０，０，０，０，０）

　　（０，１，０，０，０，０，０，０，０）

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（１，１，１，１，１，１，１，１，１）

におきます．すると対角線上の点

　　（１／３，１／３，１／３，１／３，１／３，１／３，１／３，１／３，１／３）

　　（２／３，２／３，２／３，２／３，２／３，２／３，２／３，２／３，２／３）

にも単位球を置くことができるというわけです．

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