正多角形でない多角形による平面充填形について考えてみましょう．ただし、非凸な多角形による平面のタイル張り問題は難しいので，ここでは正多角形ではない不規則な凸多角形に限ってみます．三角形と四角形の場合は凸でなくてもよいのですが，どんな形の三角形、四角形でも平面を過不足なく敷きつめることができます．凸六角形では本質的に異なる３つのタイプの六角形だけが平面を埋めつくします．また、凸な多角形では七角以上になるとどんな型のものもうまくいきません．

　五角形は特に興味津々です。正五角形はどうしても隙間があいてしまいますが、凸五角形では、ホームベース形も含めて，現在，１５種の平面充填形が知られています．六角形に関しては３種類以外のものは存在しないことが示されていますが，五角形に関しては１５種ですべてかどうかはまだ証明されていません．

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［Ｑ］凸な多角形では七角以上になるとどんな型のものも平面充填不可能であることを証明せよ．

　ｐ角形による球面充填を考えると，

　　２Ｎ1＝ｐＮ2，２Ｎ1＝３Ｎ0

　　Ｎ0−Ｎ1＋Ｎ2＝２

　　ｐＮ2／３−ｐＮ2／２＋Ｎ2＝２

ここで，Ｎ2→∞にすると

　　ｐ＝６（１−２／Ｎ2）→ｐ≦６

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