【１】８次元におけるkissing number

　８次元になると面心立方格子に十分な隙間ができるので，１１２個の接触点

1/√2（０，・・・，±１，０，・・・，±１，０・・・）　　　（±１の個数は２つ） 　

と１２８個の隙間の点

1/√8（±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１）　　　（＋の個数は偶数）

に同じ大きさの球が詰め込み可能になります．

　Ｅ8格子は接触数２４０を与えるのですが，τ8の２４０個の点はＥ8型の単純リー代数の２４０個のルート格子で実現されます．この隙間は，９個の整数に対して法３で合同となるので，

　　ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＝０

であって，Ｅ8では９個の球によって完全に充填した構造となっています．

　以下では，

　　［参］一松信「現代に活かす初等幾何学入門」岩波書店

の助けを借りて，ｎ＝８の場合について最密充填を与える格子の構成法を略述します．

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【２】ケイリー整数とＥ8格子

　八元数Σａjｅjにおいて，係数ａj(j=0~7)が

　　1)整数値をとるもの

　　2)半整数値の奇数倍をとるもの

　　3)４個が整数値，４個が半整数値の奇数倍をとるもの

を加えて，「ケイリーの整数」と呼びます．

　ただし，3)において整数である番号は（ｉ，ｊ，ｋ）７組に０（実数）を加えた集合および（０〜７）に対するその補集合の１４組に限ります．

　このような点をすべてとると，８次元空間内で隣り合う２点間の距離がすべて１の格子ができあがります．原点に隣接する点は２４０個あり，それらと原点を結ぶベクトルが例外型リー環のＥ8ルート系を表すので，この格子をＥ8格子といいます．

　Ｅ8格子にはほかにもいくつかの構成法があり，ここではケイリー整数との関連で説明しましたが，その配列は本質的にはこの形しかありません．Ｓ^7の上の２４０個の点は直交変換で互いに移りうる点の組を同じものとみなすと一意なのです．

　そして，８次元空間において，２個の正軸体（正８面体の拡張）と１個の正単体（正４面体の拡張）を組み合わせると空間充填形ができるのですが，ケイリー整数の作る格子がその具体形になっています．

　なお，Ｅ8格子において，原点からの距離が√ｎである格子点の個数は

　　２４０σ3（ｎ）

（ここで，σ3（ｎ）はｎの約数の３乗の和）と表せることが知られています．すなわち，

　　ｎ＝１　→　２４０・１^3＝２４０個

　　ｎ＝２　→　２４０・（１^3＋２^3）＝２１６０個

　　ｎ＝３　→　２４０・（１^3＋３^3）＝６７２０個

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