Ｅ8格子では，原点においた半径１／２の球に，同じ半径の球を原点の隣点におけば２４０個の球が接するようにできる．８次元空間における球の接触数は２４０であり，その配列は本質的にこの形しかない．

　この充填形で，正軸体の１つおきの胞に正単体が続き，他の半分の胞は正軸体同士が接する．格子点として１つの格子点を中心にその隣（距離１）の２４０個の頂点を結んでできる８次元の「亜正多面体」は正単体が１７２８０個，正軸体が２１６０個から構成される．

　８次元正単体の体積３／２^4８！

　８次元正軸体の体積２^4／８！

　正単体の部分は１７２８０×３／２^4８！

　正軸体はその半分の錘体になり，その部分は２１６０×２^7／２^4８！

このことから正軸体の占める部分が大半で，正単体が隙間を埋めている印象である．

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【１】Ｅ8格子のボロノイ領域

　単独で８次元空間の充填形になるのは格子のボロノイ領域で，それは１７２８０個の正単体の１／９（ひとつの頂点が最も近い部分）と２１６０個の正軸体の１／１６（ひとつの頂点が最も近い部分）から成り立つ．

　その体積は

　　正単体の体積３／２^4８！×１／９×１７２８０＝１／１１２

　　正軸体の体積２^4／８！×１／１６×２１６０＝６／１１２

の合計（１＋６）／１１２＝１／１６で，案外簡単な数になる．

　この図形は８次元の平行面体（平行移動で面を貼り合わせて空間充填形になる）のひとつである．

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　このように述べてもイメージが十分涌かないかもしれません．８次元という高い次元の難しさでしょうが，私自身も誤解しておりました．１６は８次元正軸体の胞数ではなく，頂点の個数です．９も正単体の胞数ではなく，頂点の個数です．

　ボロノイ図形とは８次元の空間充填形をなす頂点の作る格子点（具体的には八元整数の全体の作る作る格子）において，１個の特定の格子点Ｏに注目して，その点が最近の格子点であるような空間内の点集合です．

　当然それはＯに会する計１７２８０個の正単体と２１６０個の正軸体の内部で，その頂点Ｏが最近の頂点であるような点の集合の合併になります．その各々は正単体の頂点まわりの９等分，正軸体の頂点まわりの１６等分した部分になります．決して

　　１７２８０／９＝１９２０個の正単体

　　２１６０／１６＝１３５個の正単体

という意味ではありません．

　たとえとして，３次元空間での正四面体と正八面体からなる空間充填形でみますと，そのボロノイ図形は１頂点のまわりに会する８個の正四面体の頂点付近の１／４と６個の正八面体の頂点付近の１／６の合併になります．

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