今回のコラムで取り上げるのは，残り４つのケース

　　Ｔ　ｉｎ　Ｏ，　Ｔ　ｉｎ　Ｄ，　Ｉ　ｉｎ　Ｔ，　Ｉ　ｉｎ　Ｏ

です．

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【１】Ｔ　ｉｎ　Ｏ

　正八面体のひとつの面が正四面体の面と一致し，残りの頂点が正八面体の面の接触するとき，正八面体に内接する最大の正四面体が得られます．このとき，体積比は

　　√２／１２・３／√２＝１／４＝0.25

になります．

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【２】Ｔ　ｉｎ　Ｄ

　正十二面体の８個の頂点を結ぶと，正十二面体の中に立方体ができます．また，正四面体の６個の面の対角線を結ぶと，立方体の中に正四面体ができます．したがって，体積比は

　　φ^3・４／３（１５＋７√５）＝0.184262

になります．

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【３】Ｉ　ｉｎ　Ｔ

　正二十面体の辺心図において，［１，１，１］方向を向く切頂面は８面ありますが，このうちの４面が正四面体の４面と接する配置をとるとき，正四面体に内接する最大の正二十面体が得られます．

　　ｄ＝（√５−１）／２＝１／φ

とおくと，この切頂面は点（０，１，ｄ），（ｄ，０，１），（１，ｄ，０）を通りますから

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝１＋ｄ＝φ

で表されます．

　このことから，正四面体の１辺の長さは

　　２√２φ

体積比は

　　（２ｄ）^3（１５＋５√５）／１２／｛（２√２φ）^3√２／１２）｝

　　＝（１５＋５√５）／４φ^6＝0.364745

であることがわかります．

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【４】Ｉ　ｉｎ　Ｏ

　正八面体の１２個の辺を１：φに内分する点を結ぶと，正八面体の中に正二十面体ができます．正八面体の１辺の長さを１とするとき，

　　１／（１＋φ）＝１／φ^2，φ／（１＋φ）＝１／φ

ですから，余弦定理より正二十面体の１辺の長さｋは

　　ｋ^2＝１／φ^4＋１／φ^2−２・１／φ^2・１／φ・ｃｏｓ６０°

　　ｋ＝√２／φ^2

　体積比は

　　２√２／φ^6・（１５＋５√５）／１２・３／√２＝0.72949

となります．

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