このシリーズではこれまで立方体に内接する最大の正多面体

　　Ｔ　ｉｎ　Ｃ，　Ｏ　ｉｎ　Ｃ，　Ｄ　ｉｎ　Ｃ，　Ｉ　ｉｎ　Ｃ

を扱ってきましたが，「正多面体に内接する最大の別の多面体は何か」という問題では５種類の正多面体の組み合わせは全部で２０通りあります．そのうちの１４通りについては解決済みです．

　このシリーズでは，未解決のまま残っている６通り

　　Ｃ　ｉｎ　Ｉ，Ｔ　ｉｎ　Ｉ，Ｄ　ｉｎ　Ｉ，

　　Ｄ　ｉｎ　Ｏ，Ｄ　ｉｎ　Ｔ，Ｉ　ｉｎ　Ｄ

を除くすべてのケースについても報告したいのですが，今回のコラムでは正多面体に内接する最大の立方体についてまとめてみます．Ｃ　ｉｎ　Ｉは未解決ですから，ここで取り上げるのは３つのケース

　　Ｃ　ｉｎ　Ｔ，　Ｃ　ｉｎ　Ｏ，　Ｃ　ｉｎ　Ｄ

に限られます．

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【１】Ｃ　ｉｎ　Ｔ

（Ｑ１）正三角形に正方形を内接させる問題を考えます．正方形の４つの頂点は正三角形の辺上にあり，２つの頂点は正三角形の底辺に，あとの２つの頂点はそれぞれ斜辺の上にあるものとします．

（Ａ１）正三角形の１辺の長さを１とし，正三角形の斜辺上にある正方形の頂点がそれをｘ：１−ｘに内分するとき

　　ｘ＝（１−ｘ）ｓｉｎ６０°

より

　　ｘ＝２√３−３

（Ｑ２）正四面体に立方体を内接させる問題を考えます．正方形の８つの頂点は正四面体の面上にあり，４つの頂点は正四面体の底面に，２つの頂点は斜面に，あとの２つの頂点はそれぞれ斜面の上にあるものとします．

（Ａ２）正四面体の面上に立方体の１面と１辺と２頂点が接する配置ですが，このとき，正四面体に内接する最大の立方体が得られます．その場合の体積比の計算方法ですが，立方体の上面を延長した正三角形の断面を考えると（Ｑ１）と同じ状況が現れます．

　正四面体の１辺の長さを１とし，立方体の上面を延長させた面が正四面体の斜辺をｙ：１−ｙに内分するとき

　　（２√３−３）ｙ＝（１−ｙ）ｓｉｎ６０°・ｓｉｎδ

　ここでδは正四面体の二面角で，ｃｏｓδ＝１／３ですから，

　　ｓｉｎδ＝２√２／３

したがって，

　　（２√３−３）ｙ＝（１−ｙ）（３／２）^1/2

　　ｙ＝√２／（６−３√３＋√２）

　立方体の１辺の長さは

　　（２√３−３）ｙ＝６／（６＋４√３＋３√６）＝0.295907

ですから，求める体積比は

　　｛６／（６＋４√３＋３√６）｝^3・１２／√２＝0.219852

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【２】Ｃ　ｉｎ　Ｏ

　正八面体の頂点からでる４本の辺をｋ：１−ｋに内分する４点をとります．その頂点の対蹠頂点からでる４本の辺をｋ：１−ｋに内分する４点をとり，この８点を選べば正八面体に内接する最大の立方体が得られます．

　　ｋ＝（１−ｋ）√２

より，

　　ｋ＝２−√２

したがって，体積比は

　　（２−√２）^3・３／√２＝0.426407

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【３】Ｃ　ｉｎ　Ｄ

　正十二面体の８個の頂点を結ぶと，正十二面体の中に立方体ができます．このとき，立方体の１辺は正十二面体の対角線ですから，正十二面体の１辺の長さを１とすると，黄金比φ＝（１＋√５）／２に等しくなります．したがって，体積比は

　　φ^3・４／（１５＋７√５）＝0.552786

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【補】正五角形内にはいる最大の正方形

(1)正五角形の垂線を対角線とする正方形を考えます．正五角形の１辺の長さを１とすると，正方形の１辺は１．０８８１３となりますが，このとき正五角形の頂点と底辺以外にある正方形の２つの頂点は正五角形の枠内からはみ出してしまいます．そこで，正五角形内にはいる最大の正方形を求めてみることにしました．

(2)まず，正方形の１つの頂点を正五角形の頂角にはめ込んで，正方形の２つの頂点を正五角形の辺上におくと，正方形の１辺は１．０６７３となります．このとき，もうひとつの頂点は正五角形の垂線上で正五角形の底辺に触れていないところにきます．

(3)次の候補として，正五角形の底辺と平行・垂直な辺をもつ正方形を求めると１辺の長さは１．０６０５となりました．(3)はどちらへも動かしようがないので最大のものと考えたくなるのですが，真の解（正五角形内にはいる最大の正方形）は辺の長さ１．０６７３の正方形(2)ということになります．

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【補】正ｎ角形内にはいる最大の正（ｎ−１）角形

　同様のことをｎ＝７，９，１１，１３，・・・についても求めてみます．(2)では正ｎ角形の頂点に連接する辺上に正（ｎ−１）角形の２頂点がくる，(3)では正ｎ角形の頂点に連接する辺上に２頂点，正ｎ角形の底辺に連接する辺上に２頂点あるとして計算式をたてます．

　計算式は複雑になるので省きますが，

　　ｎ (1) (2) (3)

　　５ 1.08813 1.0674 1.0605

　　７ 1.09532 1.06654 1.08378

　　９ 1.08515 1.05589 1.0794

　　11 1.07463 1.04695 1.07137

　　13 1.06578 1.04012 1.06377

　　15 1.05857 1.03489 1.05724

　　17 1.05268 1.0308 1.05176

　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　99 1.00995 1.00512 1.00994

となりました．

　ｎ＝５のときは(2)>(3)ですが，ｎ＞５では(2)<(3)となって(3)の値はｎの増加とともに(1)の値に近づくようです．その意味でｎ＝５は特別な場合になっていることがわかります．

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