ラマヌジャンのΔ関数

　　Δ（ｚ）＝ｅｘｐ（２πｉｚ）Π（１−ｅｘｐ（２πｉｎｚ））^24

　　　　　　＝Στ（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎｚ）

については，

　　Δ（ｚ）＝｛（２４０Ｅ4（ｚ））^3−（５０４Ｅ6（ｚ））^2＊／１２^3

　　Ｅ6（ｉ）＝０→Ｅ4（ｉ）１／２０・Δ（ｚ）^1/3

　　Δ（−１／ｚ）＝ｚ^12Δ（ｚ）　　　（保型性）

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（２π）^-12Δ（ｚ）＝１／１２^3｛（１＋２４０Σσ3（ｎ）ｑ^n）^3−（１−５０４Σσ5（ｎ）ｑ^n）^2｝

　（２π）^-12Δ（ｚ）のフーリエ展開の係数は整数である．

ａ（１）＝１，ａ（２）＝−２４，ａ（３）＝２５２，

ａ（４）＝−１４７２，ａ（５）＝４８３０，ａ（６）＝−６０４８，

ａ（７）＝−１６７４４，ａ（８）＝８４４８０，ａ（９）＝−１１３６４３，

ａ（１０）＝−１１５９２０，ａ（１１）＝５３４６１２，

ａ（１２）＝−３７０９４４，ａ（１３）＝−５７７７３８，

ａ（１４）＝４０１８５６，ａ（１５）＝１２１７１６０，

ａ（１６）＝９８７１３６，・・・

　これより

［１］ａ（ｍｎ）＝ａ（ｍ）ａ（ｎ）

［２］ｐが素数のとき

ａ（ｐ^n）＝ａ（ｐ）ａ（ｐ^n-1）−ｐ^11ａ（ｐ^n-2），ｎ＞２

［３］Σａ（ｎ）／ｎ^s＝Π（１−ａ（ｐ）／ｐ＋ｐ^11-2s）^-1

［４］｜ａ（ｐ）｜＜２ｐ^11/2

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