いったん，

　　２（２^k−１）＞ｋ（ｋ＋１）

が成立すれば，左辺は

　　（２^k+1−１）／（２^k−１）

＝｛２（２^k−１）＋１｝／（２^k−１）＝２＋１／（２^k−１）

右辺は

　　（ｋ＋１）（ｋ＋２）／ｋ（ｋ＋１）＝１＋２／ｋ

となって，差はどんどん開く一方である．

　いったん，

　　（ｋ＋１）！＜２^k(k+1)/2

が成立すれば，左辺は

　　（ｋ＋２）！／（ｋ＋１）！＝ｋ

右辺は

　　２^(k+1)(k+2)/2／２^(k(k+1)/2)＝２^k+1

となって，差はどんどん開く一方である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝