クネーザーは１２次元の反例：

　　Ｄ12＝１／２（θ3^12＋θ4^12）

　　Ｅ8＋Ｄ4＝１／２（θ2^8＋θ3^8＋θ4^8）×１／２（θ3^4＋θ4^4）

を見つけ，その後，北岡は８次元の反例を見つけました．

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　　θ3^4＝θ2^4＋θ4^4

より，θ3を消去すれば両者は（定数倍を除いて）一致することが確認できる．

　　θ3^8＝θ2^8＋θ4^8＋２θ2^4θ4^4

　　θ3^12＝θ2^12＋θ4^12＋３θ2^8θ4^4＋３θ2^4θ4^8

　　Ｄ12＝１／２（θ2^12＋２θ4^12＋３θ2^8θ4^4＋３θ2^4θ4^8）

　　Ｅ8＋Ｄ4＝１／２（２θ2^8＋２θ4^8＋２θ2^4θ4^4）×１／２（θ2^4＋２θ4^4）

＝１／２（θ2^8＋θ4^8＋θ2^4θ4^4）（θ2^4＋２θ4^4）

＝１／２（θ2^12＋２θ4^12＋３θ2^4θ4^8＋３θ2^8θ4^4）

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