ガウス・ルジャンドルの定理（３平方和定理）

　　「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない．」

より，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができます．

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　（その５９）の続き．

　ｘ^2は４ｋまたは４ｋ＋１であるから，２個の平方数の和ｘ^2＋ｙ^2で，４ｋ＋３の形の数は表せません．

　ここでは

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｎｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

ｎ≦ｍ

について考えてみますが，４ｋ＋３の形の数から，

　　ｍｗ^2　　（ｗ＝１，１，２，１，１，１，２）

　　　　　　　（ｍｗ^2＝１，２，１２，４，５，６，２８）

を引くと，それぞれ４ｋ＋２，４ｋ＋１，４ｋ＋３，４ｋ＋３，４ｋ＋２，４ｋ＋１，４ｋ＋３の形の数となります．

　ｚ＝ｗとしてｎ≦ｍとしてみましょう．

［１］ｎ＝ｍ，ｚ＝ｗ

　　ｎｚ^2　　（ｚ＝１，１，２，１，１，１，２）

　　　　　　　（ｎｚ^2＝１，２，１２，４，５，６，２８）

を引くと，それぞれ４ｋ＋１，４ｋ＋３，４ｋ＋３，４ｋ＋３，４ｋ＋１，４ｋ＋３，４ｋ＋３の形の数となります．

　これで（１，１，１，１），（１，１，５，５）はＯＫと思われたのですが，後者はリストに載っていません．

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