【１】格子のテータ関数

　格子に含まれるベクトルで与えられたノルム（長さの２乗）のものがいくつあるかによって，テータ関数が決まります．たとえば，六角格子ではノルム０のベクトルは１個，ノルム１のベクトル６個，ノルム３のベクトル６個，ノルム４のベクトル６個，ノルム７のベクトル１２個，・・・と数えていけば，この格子のテータ関数Θ(z)は

　　Θ(z) ＝１＋６ｑ＋６ｑ^3＋６ｑ^4＋１２ｑ^7＋・・・

　　　　　＝Σａｑ^k　　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

と定義されます．

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【２】Ｅ8格子のテータ関数

　Ｅ8格子において，原点からの距離が√ｎである格子点の個数は

　　２４０σ3（ｎ）

（ここで，σ3（ｎ）はｎの約数の３乗の和）と表せることが知られています．すなわち，

　　ｎ＝１　→　２４０・１^3＝２４０個

　　ｎ＝２　→　２４０・（１^3＋２^3）＝２１６０個

　　ｎ＝３　→　２４０・（１^3＋３^3）＝６７２０個

　　ΘE8 ＝１＋２４０Σσ3（ｍ）ｑ^2m

＝１＋２４０ｑ^2＋２１６０ｑ^4＋６７２０ｑ^6＋・・・

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【３】ラマヌジャンのΔ関数

　　Δ（ｚ）＝ｅｘｐ（２πｉｚ）Π（１−ｅｘｐ（２πｉｎｚ））^24

　　　　　　＝Στ（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎｚ）

　　Δ（ｚ）＝ｑΠ（１−ｑ^n）^24＝Στ（ｎ）ｑ^n

　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

　　Δ24（ｚ）＝ｑ^2Π（１−ｑ^2m）^24＝Στ（ｍ）ｑ^2m

＝（１／２・θ2θ3θ4）^8＝（１／２・θ1’）^8

＝ｑ^2−２４ｑ^4＋２５２ｑ^6−１４７２ｑ^8＋・・・

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【４】リーチ格子のテータ関数

　　ΘΛ24＝（ΘE8）^3−７２０Δ24＝ΣＮmｑ^m

＝１＋１９６５６０ｑ^4＋１６７７３１２０ｑ^6＋・・・

　　Ｎ2m＝６５５２０／６９０・（σ11（ｍ）−τ（ｍ））

　　１^2＋２^2＋・・・＋２３^2＋２４^2＝７０^2

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【５】おまけ

　（ΘE8）^6−１４４０（ΘE8）^3Δ24＋１２５２８０（Δ24）^2

＝１＋５２４１６０００ｑ^6＋３９００７３３２０００ｑ^8＋・・・

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