【１】ルジャンドルの４平方和定理

　任意の整数ｎは，ｎ個平方和

　　ｎ＝１^2＋１^2＋・・・＋１^2

に書けますから，これをなるべく少ない数の平方和でｎを表そうと思うのは自然な成り行きです．

　「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，「ラグランジュの定理」です．驚くべきことに，７のみならず，任意の自然数がたった４つの平方数の和の形に表せるのです．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

このことを，シンボリックに書くと

　　ｎ＝□＋□＋□＋□

となります．□は平方数の意味です．

　ラグランジュの４平方和定理では０も含めて考えていますが，「正」という条件を付けてみることにすると，

　「４つの正の平方数の和として表されない正の整数をすべてあげると

１，３，５，９，１１，１７，２９，４１，２×４^m，６×４^m，１４×４^m」

が得られます（ルジャンドルの４平方和定理）．

　ルジャンドルの３平方和定理は，どのような数が４つの正の平方数の和として表されるか否かを決定するというわけです．

（証明）８ｋ＋３の形をした数は３つの奇数の平方の和として表せることは前述したとおりですが，

　　８ｋ＋３の形の数から４^2を引くと　→　８ｋ＋３の形の数

となることからも，３つの平方数の和として表すことができることがわかります．

　同様に

　　８ｋ＋６の形の数から４^2を引くと　→　８ｋ＋６の形の数

ことから，８ｋ＋３と８ｋ＋６の形をした数は，２つの平方数の和としては表すことができない→３つの平方数の和として表されなければなりません．また，その数の４倍を考えれば３２ｋ＋１２と３２ｋ＋２４も３つの平方数の和として表されます．

　　８ｋ＋２の形の数から２^2を引くと　→　８ｋ＋６の形の数

　　８ｋ＋３の形の数から４^2を引くと　→　８ｋ＋３の形の数

　　８ｋ＋４の形の数から１^2を引くと　→　８ｋ＋３の形の数

　　８ｋ＋６の形の数から４^2を引くと　→　８ｋ＋６の形の数

　　８ｋ＋７の形の数から２^2を引くと　→　８ｋ＋３の形の数

　　８ｋ＋１の形の数から１^2，３^2，５^5，７^2を引くと　→　３２ｋ＋２４の形の数

　　８ｋ＋５の形の数から１^2，３^2，５^5，７^2を引くと　→　３２ｋ＋１２の形の数

　したがって，４９よりも大きく８の倍数でない任意の整数は４つの正の平方数の和として表されることがわかります．４９までの８の倍数でない数について１，２，３，５，６，９，１１，１４，１７，２９，４１が４つの正の平方数の和として表されないことを確認します．

　　１＝１^2　　　　　　　　　　　１１＝３^2＋１^2＋１^2

　　２＝１^2＋１^2　　　　　　　　１４＝３^2＋２^2＋１^2

　　３＝１^2＋１^2＋１^2　　　　　１７＝３^2＋２^2＋２^2

　　５＝２^2＋１^2　　　　　　　　２９＝４^2＋３^2＋２^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2　　　　　４１＝６^2＋２^2＋１^2

　　９＝２^2＋２^2＋１^2

　あとは，８ｋの形をした数が４つの正の平方数の和として表される場合について考察します．４つの平方数のうち奇数が０個（または１個または２個または３個または４個）ならば，和は４ｋ（または４ｋ＋１または４ｋ＋２または４ｋ＋３または８ｋ＋４）の形をしています．たとえば，

　　（２ｐ＋１）^2＋（２ｑ＋１）^2＋（２ｒ＋１）^2＋（２ｓ＋１）^2

　＝４ｐ（ｐ＋１）＋４ｑ（ｑ＋１）＋４ｒ（ｒ＋１）＋４ｓ（ｓ＋１）

　＝８ｋ＋４

　したがって，８ｋの形をした数が４つの平方数の和として表されるならば，その４つの正の平方数はすべて偶数でなければなりませんから，２ｋが４つの正の平方数の和として表されるときに限られます．

　　（２ｐ）^2＋（２ｑ）^2＋（２ｒ）^2＋（２ｓ）^2＝８ｋ

　　ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2＝２ｋ

ここで，２ｋが８の倍数であればさらに４で割って，２ｋは８の倍数でないとすることができますから，前述の場合に帰着されます．

　すなわち，８の倍数でない２ｋ（偶数）が４つの正の平方数の和として表されないのは

　　２ｋ＝２，６，１４

したがって，２，６，１４といった整数の４倍

　　８ｋ＝２×４^m，６×４^m，１４×４^m

は４つの正の平方数の和として書けないことがわかります．

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