ラグランジュの定理：どんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の形に書ける．それでは，どんな自然数でも

　　Ａｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2

で書けるだろうか？

　すべての整数はＡｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2の形に表せるが，それは５４通りの組み合わせしかないことが知られている（ラマヌジャン）．

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【１】ラマヌジャンのリスト（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）

　（１，１，１，１），（１，１，１，２），（１，１，１，３）

　（１，１，１，４），（１，１，１，５），（１，１，１，６）

　（１，１，１，７），（１，１，２，２），（１，１，２，３）

　（１，１，２，４），（１，１，２，５），（１，１，２，６）

　（１，１，２，７），（１，１，２，８），（１，１，２，９）

　（１，１，２，１０），（１，１，２，１１），（１，１，２，１２）

　（１，１，２，１３），（１，１，２，１４），（１，１，３，３）

　（１，１，３，４），（１，１，３，５），（１，１，３，６）

　（１，２，２，２），（１，２，２，３），（１，２，２，４）

　（１，２，２，５），（１，２，２，６），（１，２，２，７）

　（１，２，３，３），（１，２，３，４），（１，２，３，５）

　（１，２，３，６），（１，２，３，７），（１，２，３，８）

　（１，２，３，９），（１，２，３，１０），（１，２，４，４）

　（１，２，４，５），（１，２，４，６），（１，２，４，７）

　（１，２，４，８），（１，２，４，９），（１，１，２，９）

　（１，２，４，１０），（１，２，４，１１），（１，２，４，１２）

　（１，２，４，１３），（１，２，４，１４），（１，２，５，６）

　（１，２，５，７），（１，２，５，８），（１，２，５，９）

　（１，２，５，１０）

　どんな自然数でも

　　ｘ^2＋２ｙ^2＋３ｚ^2＋４ｗ^2

で書けるのである．

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【２】ラグランジュの定理とラマヌジャンのリストの間に

　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

から

　 Ａｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2，　　Ａ≦Ｂ≦Ｃ≦Ｄ

までの間を検討したいのであるが，容易にわかるようにＡ＝１でなければならない．

　そこで，Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝１から始めたい．

　答えはＤ＝１，２，３，４，５，６，７になるのであるが，その定理がルジャンドルの４平方和定理「何種類かの４変数２次形式，たとえば，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができる」である．

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