鎌倉の金原博昭さんより，菱形十二面体の黄金化と菱形三十面体の白銀化について教えていただいたのですが，これらの黄金比三角多面体と白銀比三角多面体には相互補完的な関係にあることが判明しました．

　金原さんが次に考えた問題は，凧型２４面体の黄金化（凧型６０面体の黄金凧型で凧型２４面体の展開図を作成し各面が２等分されるように組み立てる）と凧型６０面体の白銀化（凧型２４面体の白銀凧型で凧型６０面体の展開図を作成し各面が２等分されるように組み立てる）です．

　凧型２４面体は立方体を切頂・切稜した多面体ですし，凧型６０面体は正１２面体を切頂・切稜した多面体になっていますが，この両者の黄金化・白銀化の間にも相互補完的な関係は成立するのでしょうか？　また，それ以前の問題としてこのような多面体は実際に閉じた多面体として存在しうるのでしょうか？　このシリーズではこれらの点について検証しますが，今回のコラムでは手始めに凧型２４面体と凧型６０面体の計量を行ってみたいと思います．

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【１】凧型２４面体の計量

　アルキメデス双対を作るためには，アルキメデス立体を球に内接させ，多面体の頂点における球の接平面上に，面心を投影する必要があります．準正多面体は球に内接しても外接しないので，各頂点に集まる面の中心を結んでできる多角形が平面多角形にならないからです．

　もとの立方体の１辺の長さを２，正方形面の１辺の長さをｄとおくと，準正多面体［３，４，４，４］の場合，立方体を

　　ｄ＝２（√２−１）

で切稜すると正方形６枚と六角形１２枚の２種類の面をもつ１８面体（切稜立方体）ができあがります．この１８面体は内接球をもつ唯一の切稜１８面体であるのみならず，Ｓ^3／Ｖ^2比が最小（すなわち，表面積の割に体積が大きい）という性質をもつ特別な切稜立方体となっています．

　外接球はもちませんが，この切稜立方体の六角形面が３枚集まる頂点を三角錐状に削り取ることによって，準正多面体［３，４，４，４］ができあがります．この準正多面体は斜立方八面体あるいは小菱形立方八面体と呼ばれているのですが，準正多面体ですから外接球をもつようになります．

(1)正方形面の頂点の座標：（ｄ／２，ｄ／２，１）

　明示的に書くと，ｄ＝２（√２−１）ですから

　　（√２−１，√２−１，１）

の±を含めた巡回置換によって得られることがわかります．そして，原点から頂点までの距離の２乗は

　　２（√２−１）^2＋１^2＝７−４√２＝Ｒ^2

(2)正方形面の中心の座標：（０，０，１）

(3)もとは六角形面だった正方形面の中心の座標：

　　（ｄ／４＋１／２，０，ｄ／４＋１／２，

　　（０，ｄ／４＋１／２，ｄ／４＋１／２）

(4)正三角形面の中心の座標：

　　（（ｄ＋１）／３，（ｄ＋１）／３，（ｄ＋１）／３）

　外接球はｘ^2＋ｙ^2＋z^2＝Ｒ^2ですから，(1)正方形面の頂点（ｄ／２，ｄ／２，１）における接平面は

　　　ｄ／２・ｘ＋ｄ／２・ｙ＋ｚ＝Ｒ^2

で与えられます．

　したがって，外接球の中心から接平面上に(2),(3),(4)を投影すると，それぞれ，

(2)→（０，０，７−４√２）

(3)→（（−８＋７√２）／２，０，（−８＋７√２）／２）

(3)→（０，（−８＋７√２）／２，（−８＋７√２）／２）

(4)→（（−９＋１０√２）／７，（−９＋１０√２）／７，（−９＋１０√２）／７）

　この凧型は√２でパラメトライズされますから，白銀凧型と呼ぶことにします．白銀凧型の辺長(1.028,0.795115)で辺長比は1.29289，内角は(81.579°×3,115.263°)，二面角はすべて等しく138.118°と計算されます．

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【２】凧型６０面体の計量

　切稜多面体のｑ角錐を根本のところで切り落とすとそこには正ｑ角形ができますから［４，ｐ，４，ｑ］型の多面体となります．立方体の場合は（ｐ，ｑ）＝（４，３）ですから［３，４，４，４］＝小菱形立方八面体が，正１２面体の場合は（ｐ，ｑ）＝（５，３）ですから［３，４，５，４］＝小菱形１２・２０面体となります．

　もとになる立体の１辺の長さをａ，切稜パラメータをｘ，切頂パラメータをｙ，また，正多面体のある頂点から隣接する頂点までの距離のどのくらいを切稜，切頂するのか，その切稜率をｓ，切頂率をｔとおくと

　　ｓａ＝ｘ，ｔａ＝２ｘ＋ｙ　　　（０≦ｓ≦０．５，０≦ｔ≦１）

ですから

　　ｘ＝ｓａ，ｙ＝（ｔ−２ｓ）ａ

(1)ｐ角形面と４角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｂ＝ａ＋２ｘｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｘ

(2)４角形面ｑ角形面に挟まれる辺の長さは

　　ｄ＝２ｘｃｏｓ（π／ｐ）

で与えられます．

　準正多面体では，ｂ＝ｄより

　　１＋２ｓｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｓ＝２ｓｃｏｓ（π／ｐ）

　　ｓ＝１／（２−２ｃｏｓ（２π／ｐ）＋２ｃｏｓ（π／ｐ））

したがって，ｐ＝４（立方体）では

　　ｓ＝１／（２＋√２），ｔ＝２ｓ

ｐ＝５（正１２面体）では

　　ｓ＝１／３，ｔ＝２ｓ

となることがわかります．

　この公式は小菱形立方八面体も場合も使えますが，ここでは小菱形１２・２０面体の場合を考えます．小菱形１２・２０面体では１辺の長さａの正１２面体の各面が１辺の長さｂ（＝ｄ）の正五角形に縮み，その隙間を正方形，正三角形が埋めたものになっています．そこで黄金比をφ，縮小比をκ＝ｂ／ａ＝φ／３，もとの正１２面体の正五角形面の頂点の座標を

　　Ａ（φ／２，φｔａｎ３６°／２，φ^2／２）

　　Ｂ（φ／２，−φｔａｎ３６°／２，φ^2／２）

　　Ｃ（φｃｏｓ３６°，−φｓｉｎ３６°，φ^2／２−１）

　　Ｄ（φ，０，−φ^2／２＋１）

　　Ｅ（φｃｏｓ３６°，φｓｉｎ３６°，φ^2／２−１）

から小菱形１２・２０面体の頂点の座標をパラメトライズすると

(1)正五角形面の頂点の座標：

　　Ａ（φ／２，φｔａｎ３６°／２，φ^2／２）

したがって，原点から頂点までの距離の２乗は

　　（φκ／２）^2＋（φκｔａｎ３６°／２）^2＋（φ^2／２）^2＝（３１φ＋２２）／３６＝Ｒ^2

(2)正五角形面の中心の座標：（０，０，φ^2／２）

(3)正方形面の中心の座標：

　　（（２φ＋１）／６，０，（３φ＋２）／６）

　　（（２φ＋１）／６ｃｏｓ７２°，（２φ＋１）／６ｓｉｎ７２°，（３φ＋２）／６）

(4)正三角形面の中心の座標：

　　（（５φ＋４）／１８，（５φ＋４）／１８ｔａｎ３６°，（９φ＋５）／１８）

　正五角形面の頂点（φκ／２，φκｔａｎ３６°／２，φ^2／２）における接平面は

　　　φ／２・ｘ＋φｔａｎ３６°／２・ｙ＋φ^2／２・ｚ＝Ｒ^2

　　　ｘ＋ｔａｎ３６°ｙ＋３ｚ＝（９φ＋１３）／６

で与えられます．

　したがって，外接球の中心から接平面上に(2),(3),(4)を投影すると，それぞれ，

(2)→（０，０，（９φ＋１３）／１８）

(3)→（（６φ−５）／６，０，（φ＋６）／６）

(3)→（（６φ−５）／６０ｃｏｓ７２°，（６φ−５）／６０ｓｉｎ７２°，（φ＋６）／６）

(4)→（（１７φ＋２０）／６６，（１７φ＋２０）／６６ｔａｎ３６°，（３７φ＋１７）／６６）

　この凧型は黄金比φでパラメトライズされますから，黄金凧型と呼ぶことにします．この黄金凧型の辺長(0.827147,0.537337)で辺長比は1.53935，内角は(86.9742°×2,118.2691°,67.783°)，二面角はすべて等しく154.121°と計算されます．

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