立方体に内接する最大の正八面体の解答はいささか意外な結果になったが，最大正八面体はどのようにして得られたものなのだろうか？ たとえば，正八面体の北極と南極を立方体の対蹠頂点を結ぶ線上に置くような内接の仕方では最大正八面体は得られないのだろうか？
今回のコラムでは，正八面体の北極と南極を結ぶ中心軸の位置を変えて，もとの立方体との体積比を求めてみたいと思う．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】立方体に内接する正八面体
［１］中心軸が対面の中心を結ぶ線上にある場合
この正八面体は立方体に内接する２つのケプラー四面体の積集合になっています．６頂点は立方体の面の中心にあり，体積比は１／６＝０．１６６７です．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［２］中心軸が立方体の対蹠頂点を結ぶ線上にある場合
単位立方体ではもっとも離れた２頂点を結ぶ対角線の長さは√３となります．この場合，正八面体の中心軸は［１，１，１］方向を向き，４頂点が立方体の面に接します．
立方体の面に接触する４頂点を（ａ，−１，ｂ），（−１，ａ，ｂ），（１，−ａ，−ｂ），（−ａ，１，−ｂ）とおくと，
２（ａ＋１）^2＝２（ａ−１）^2＋４ｂ^2
より，ｂ^2＝２ａ
また，［１，１，１］方向にある２頂点を（ｃ，ｃ，ｃ），（−ｃ，−ｃ，−ｃ）とおくと，
３ｃ^2＝（ａ＋１）^2 → ｃ^2＝（ａ＋１）^2／３
また，
（ｃ−ａ）^2＋（ｃ＋１）^2＋（ｃ−ｂ）^2＝２（ａ＋１）^2
より
ａ^2−４ａ＋１＝０ → ａ＝２−√３
１辺の長さは√２（ａ＋１）＝√２（３−√３）であるから，立方体との体積比を記すと
Ｖ＝√２（√２（３−√３））^3／２４＝９−５√３＝０．３３９７
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［３］中心軸が向かい合う辺の中点を結ぶ線上にある場合
向かい合う辺の中点に置く内接の仕方で，２頂点が立方体の辺に，２辺が立方体の面に接します．
単位立方体の断面は３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとりますが，立方体の中心を通り，辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になります．したがって，立方体の最大断面に正八面体の最大断面が含まれるような内接の仕方ということになります．
正八面体の１辺の長さをａとして，立方体との体積比を記すと
√２ａ＝√２→ ａ＝１ → Ｖ＝√２／３＝０．４７１４
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［４］中心軸が向かい合う辺の４等分点を結ぶ線上にある場合
この場合は６頂点が立方体の辺に，２辺が立方体の面に接します．その際，正三角形面の重心が［１，１，１］方向を向くのですが，これがわかれば
１＋２（１−ｘ）^2＝２ｘ^2 → ｘ＝３／４
より，頂点の位置を求めることができます．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
以上より，正八面体は
［１］１／６＝０．１６６７，
［２］９−５√３＝０．３３９７，
［３］√２／３＝０．４７１４
［４］９／１６＝０．５６２５
の順に大きくなり，［４］で立方体に内接する最大の正八面体が得られます．中川宏さんによる体積比較の写真を掲げます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】まとめ
（その４）の冒頭で立方体に内接する最大の正多面体と［１，１，１］方向の関係を調べてみたが，はなはだ不完全であったので再度考察してみたい．
まず［１，１，１］方向とは何かというと［±１，±１，±１］の８方向を意味する．具体的な立体と対応づけて表現すれば立方体がもつ８頂点の方向と言い表すことができる．
［１］立方体に内接する最大の立方体はそれ自身であるから，立方体では８個の頂点が［１，１，１］方向を向く．立方体の双対である正八面体では正三角形面の重心が［１，１，１］方向を向く．その際，８つの面の重心がすべて［１，１，１］方向を向くと体積は小さくなるが，２つの面の重心が［１，１，１］方向を向いたとき体積は最大となる．
［２］正２０面体では８つの面の重心が［１，１，１］方向を向いたとき体積は最大になる．その双対である正１２面体では８個の頂点がすべて［１，１，１］方向を向くと体積は小さくなるが，２個の頂点が［１，１，１］方向を向いたとき体積は最大となる．
［３］自己双対である正四面体では，４個の面の重心と４個の頂点すべてが［１，１，１］方向を向いたとき体積は最大となる．なお，正四面体がもつ６稜の方向＝立方体の各面（正方形面）上での対角線の方向＝菱形１２面体の各面に対する法線方向は［１，１，０］方向と言い表すことができる．［１，１，０］方向とは［１，±１，０］，［０，１，±１］，［±１，０，０］の６方向を意味する．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【補】ボールの不等式
ｎ次元単位立方体の断面の体積の最大値について考えてみましょう．１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．
また，（３次元）単位立方体の断面は，３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．
２次元・３次元での問題は，４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともできますが，ｎ次元単位立方体を中心を通る超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，
１≦Ｖ≦√２
であることが，ボールによって証明されています（1986年）．
ボールの不等式のいいところは，Ｖが次元によらず，√２で上から評価されている点です．ボールの不等式は２，３次元でも一般次元でも同じ形で成立しましたが，こんなことがつい最近まで証明されなかったのは，一般次元における幾何の問題は高い次元になると多くの反例が作れるからだと想像されます．高次元では３次元の直観とは極めて異なる振る舞いを見せますから，この計算は自明ではないのです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【補】ビューズマンの定理とボールの反例
一方，半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒ^nですから，体積を１とするｒの値はＶn^(-1/n)で与えられます．また，ｎ次元超球の中心を通る超平面による切り口は（ｎ−１）次元超球であり，その体積はＶn-1ｒ^(n-1)で表されますから，体積が１の超球の切り口の体積は
Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)
となります．
ｎ Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)
２ 1.128
３ 1.209
４ 1.265
５ 1.307
６ 1.339
７ 1.365
８ 1.387
９ 1.405
10 1.420
11 1.434
12 1.445
13 1.456
14 1.465
体積１の１０次元超球について，その実際の値を計算してみると１．４２０３・・・となり，体積１の１０次元単位立方体の超平面による切り口の体積√２よりも大きくなります．ここで，半径ｒをほんの少し縮小した超球を考えてみると，単位立方体より断面積は大きいが体積は小さい例を作れることがわかります．
ところで，３次元空間内の２つの点対称凸体Ｋ，Ｋ’に関して，凸体の中心を通る任意の平面について，断面積の不等式
Ａ（Ｋ）＞Ａ（Ｋ’）
が成り立つならば，体積についても不等式
Ｖ（Ｋ）＞Ｖ（Ｋ’）
が成り立つことが知られています（ビューズマンの定理，1953年）．
すなわち，１０次元のボールの例は，
Ａ（Ｋ）＞Ａ（Ｋ’）
であっても
Ｖ（Ｋ）＜Ｖ（Ｋ’）
という高次元におけるビューズマンの反例になっているのです．
さて，１０次元以上の一般次元であれば，このような反例が具体的に与えられるのでしょうか？
Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)
とおくと，
Ａn/Ａn-2＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)/Ｖn-3・Ｖn-2^(1/(n-2)-1)
ですから，ｎ→∞のとき，
Ａn/Ａn-2→(Ｖn/Ｖn-2)^(1/n)=(2π/n)^(1/n)→１
これより，次元を高くすれば断面積はある極限値に収束しそうです．ｎ→∞のとき，Ｖn-1→０，Ｖn→０ですが，Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)の極限値を求めてみることにしましょう．
Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!より，
Ａn＝{(n/2)!}^(1-1/n)/{(n-1)/2}!
これを有名なスターリングの近似公式
ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）
を使って書き直してみましょう．簡約化すると
Ａn→(n/2)^(n/2)/{(n-1)/2}^(n/2)
＝{n/(n-1)}^(n/2)
＝{(1+1/(n-1))^(n-1)}^(1/2)*{n/(n-1)}^(1/2)
→e^(1/2)
したがって，極限値√ｅ＝１．６４８７・・・に収束することがわかります．
√２＜√ｅ＜√３
ですから，これは高次元ではボールの反例がいくらでも作れることを意味しています．（単位立方体の断面の体積は√２以下であるが，単位球の断面の体積は１０次元以上であれば＞√２が成り立ち，次元が大きくなるとおよそ√ｅとなる．）
逆に，９次元以下ではボールの反例は作られませんが，それ以外のビューズマンの反例については，５次元以上で存在することが証明されています（1992年）．しかし，４次元で反例が作れるかどうかは，現在，未解決の問題として残されています．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【参】丹野修吉「空間図形の幾何学」，培風館
