合成数とは素数でない数のことで，高次合成数とは２４のように１，２，３，４，６，８，１２，２４と多くの約数をもつ数のことです．素数の正反対の性質をもつ数，反素数といってもよいでしょう．

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　２４未満の数で，約数が６個を超えるものはない．たとえば，２２の約数は４個，２１も４個，２０は６個，ところが，２４には８個の約数がある．それ未満の数より多くの数をもつ数を「高次合成数」と定義することにする．

　　ｎ＝２^a2×３^a3×５^a5×７^a7×・・・×ｐ^ap

高次合成数２４，６０は

　　２４＝２^3×３^1，ａ2＝３，ａ3＝１

　　６０＝２^2×３^1×５^1，ａ2＝２，ａ3＝１，ａ5＝１

のように表せる．

　また，

　　６７４６３２８３８８８００＝２^6×３^4×５^2×７^2×１１×１３×１７×１９×２３，ａ2≧ａ3≧ａ5≧・・・≧ａp≧１

　ａ2≧ａ3≧ａ5≧・・・≧ａp≧１は最後の指数は１になることを示しているが，無数にある高次合成数のなかでただ２つの例外がある．

　　４＝２^2，３６＝２^2×３^2

　高次合成数に関しても，素数定理

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

（π（ｘ）は任意の整数ｘを越えない素数の個数を表すものとする）のような類似式があるという．

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　また，２４は有名なラマヌジャンの関数τ（ｎ）にも関連している．

　　Δ（ｚ）＝ｑΠ（１−ｑ^n）^24＝Στ（ｎ）ｑ^n

　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

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［おまけ］

　（１＋１／７）（１＋１／１１）（１＋１／１９）

＝｛２（１−１／３^2）（１−１／７^2）（１−１／１１^2）（１−１／１９^2）｝^1/2

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