ラマヌジャンは，保型性の研究から

　　ζ（３）＝７π^3／１８０－２Σ１／ｎ^3｛ｅｘｐ（２ｎπ）－１）

　　ζ（７）＝１９π^7／５６７００－２Σ１／ｎ^7｛ｅｘｐ（２ｎπ）－１）

を得ています．

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　（その４７）では

　　ｋ＝６，１０，１４，・・・２　　（ｍｏｄ４）

に対して，ｚ＝ｉとおくことによって

　　Σｎ^k-1／（ｅｘｐ（２πｎ）－１）＝－ζ（１－ｋ）／２＝Ｂk／２ｋ

が得られることを紹介しましたが，

　　Σ１／ｎ^3｛ｅｘｐ（２ｎπ）－１）＝７π^3／３６０－ζ（３）／２

　　Σ１／ｎ^7｛ｅｘｐ（２ｎπ）－１）＝１９π^7／１１３４００－ζ（７）／２

と書くと

　　ｋ＝－２，－６，・・・

版になっている．

　　Σｃｏｔｈ（πｎ）／ｎ^3＝７π^3／３６０

　　Σｃｏｔｈ（πｎ）／ｎ^7＝１９π^7／１１３４００

　一般には，ｍ≧３，３ｍｏｄ４に対して

　　Σｃｏｔｈ（πｎ）／ｎ^m＝２^m-1π^mΣＢ2k／（２ｋ）！・Ｂm+1-2k／（ｍ＋１－２ｋ）！

したがって，

　　ζ（ｍ）＝Σｃｏｔｈ（πｎ）／ｎ^m－２Σ１／ｎ^m｛ｅｘｐ（２ｎπ）－１）

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