ラマヌジャンは,保型性の研究から
ζ(3)=7π^3/180-2Σ1/n^3{exp(2nπ)-1)
ζ(7)=19π^7/56700-2Σ1/n^7{exp(2nπ)-1)
を得ています.
===================================
(その47)では
k=6,10,14,・・・2 (mod4)
に対して,z=iとおくことによって
Σn^k-1/(exp(2πn)-1)=-ζ(1-k)/2=Bk/2k
が得られることを紹介しましたが,
Σ1/n^3{exp(2nπ)-1)=7π^3/360-ζ(3)/2
Σ1/n^7{exp(2nπ)-1)=19π^7/113400-ζ(7)/2
と書くと
k=-2,-6,・・・
版になっている.
Σcoth(πn)/n^3=7π^3/360
Σcoth(πn)/n^7=19π^7/113400
一般には,m≧3,3mod4に対して
Σcoth(πn)/n^m=2^m-1π^mΣB2k/(2k)!・Bm+1-2k/(m+1-2k)!
したがって,
ζ(m)=Σcoth(πn)/n^m-2Σ1/n^m{exp(2nπ)-1)
===================================