■ある無限級数(その51)

 ラマヌジャンは,保型性の研究から

  ζ(3)=7π^3/180-2Σ1/n^3{exp(2nπ)-1)

  ζ(7)=19π^7/56700-2Σ1/n^7{exp(2nπ)-1)

を得ています.

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 (その47)では

  k=6,10,14,・・・2  (mod4)

に対して,z=iとおくことによって

  Σn^k-1/(exp(2πn)-1)=-ζ(1-k)/2=Bk/2k

が得られることを紹介しましたが,

  Σ1/n^3{exp(2nπ)-1)=7π^3/360-ζ(3)/2

  Σ1/n^7{exp(2nπ)-1)=19π^7/113400-ζ(7)/2

と書くと

  k=-2,-6,・・・

版になっている.

  Σcoth(πn)/n^3=7π^3/360

  Σcoth(πn)/n^7=19π^7/113400

 一般には,m≧3,3mod4に対して

  Σcoth(πn)/n^m=2^m-1π^mΣB2k/(2k)!・Bm+1-2k/(m+1-2k)!

したがって,

  ζ(m)=Σcoth(πn)/n^m-2Σ1/n^m{exp(2nπ)-1)

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