ラマヌジャンのΔ関数

　　Δ（ｚ）＝ｅｘｐ（２πｉｚ）Π（１−ｅｘｐ（２πｉｎｚ））^24

　　　　　　＝Στ（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎｚ）

については，

　　Δ（ｚ）＝｛（２４０Ｅ4（ｚ））^3−（５０４Ｅ6（ｚ））^2＊／１２^3

　　Ｅ6（ｉ）＝０→Ｅ4（ｉ）１／２０・Δ（ｚ）^1/3

　　Δ（−１／ｚ）＝ｚ^12Δ（ｚ）　　　（保型性）

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　したがって，

　　Ｆ（α）＝α^6Δ（ｉα／π）

＝α^6ｅｘｐ（２α）Π（１−ｅｘｐ（−２ｎα））^24

＝α^6Στ（ｎ）ｅｘｐ（−２ｎα）

　αβ＝π^2ならば，Ｆ（α）＝Ｆ（β）という対称性の高い形で書くことができます．

　また，

　　Δ（−１／ｚ）＝ｚ^12Δ（ｚ）　　　（保型性）

から，

　　τ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^6）

も出てきます．ラマヌジャン予想は

　　τ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^11/2）

と同値です．

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　ラマヌジャンは

　　τ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^11/2＋ε）

と予想した．ラマヌジャン自身はτ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^7）であることを証明したが，ハーディはτ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^6），ランキンはτ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^29/5）であることを証明した．

　１９７４年，ドリーニュが，ラマヌジャン予想

　　τ（ｎ）＝Ｏ（ｎ^11/2＋ε）

を証明してみせた．この業績により彼にはフィールズ賞が与えられている．

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