ラマヌジャンの好きだった等式に

［１］Σｎ／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝１／２４−１／８π

［２］Σｎ^5／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝１／５０４

［３］Σｎ^13／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝１／２４

などがあります．

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　これらはアイゼンシュタイン級数から導くことができます．たとえば，

［２］Σｎ^5／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝１／５０４

は

　　Ｅ6（ｚ）＝１／５０４＋Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（２πｎｉｚ）

　　Ｅ6（−１／ｚ）＝ｚ^6Ｅ6（ｚ）　　　（保型性）

においてｚ＝ｉとおくと

　　Ｅ6（ｉ）＝ｉ^6Ｅ6（ｉ）→Ｅ6（ｉ）＝−Ｅ6（ｉ）→Ｅ6（ｉ）＝０

　　Ｅ6（ｉ）＝１／５０４＋Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（−２πｎ）＝０

　　Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（−２πｎ）＝１／５０４

＝Σｎ^5／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）

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　一般に

　　Ｅk（ｚ）＝ζ（１−ｋ）／２＋Σσk-1（ｎ）ｅｘｐ（２πｎｉｚ）

より

　　ｋ＝６，１０，１４，・・・２　　（ｍｏｄ４）

に対して，ｚ＝ｉとおくことによって

　　Σｎ^k-1／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝−ζ（１−ｋ）／２＝Ｂk／２ｋ

が得られる．

［１］ｋ＝６→Σｎ^5／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝１／５０４

［２］ｋ＝１０→Σｎ^9／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝１／２６４

［３］ｋ＝１４→Σｎ^13／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝１／２４

［４］ｋ＝１８→Σｎ^17／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝４３８６７／２８７２８

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