１－１／３＋１／５－１／７＋・・・＝π／４

はライプニッツ級数，グレゴリー級数と呼ばれますが，それよりも３００年近い前（１４００年頃），インドのマーダヴァが証明済みだったとのことです．

　それでに対して，

　　１－２＋３－４＋・・・＝１／４

　　１＋１＋１＋１＋・・・＝－１／２

　　１＋２＋３＋４＋・・・＝－１／１２

　　１^3＋２^3＋３^3＋４^3＋・・・＝１／１２０

　　０！－１！＋２！－３！＋４！－・・・＝０．５９６３

などは発散級数についての「総和法」で説明されます．

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［１］１－２＋３－４＋・・・＝１／４

＝ｌｉｍ（ｘ－２ｘ^2＋３ｘ^3－４ｘ^4＋・・・）　　（ｘ→１）

＝ｌｉｍｘ／（１＋ｘ）^2＝１／４　　　　（アーベルの総和法）

［２］０！－１！＋２！－３！＋４！－・・・＝０．５９６３

＝Σ（－１）^n∫ｔ^nｅｘｐ（－ｔ）ｄｔ

＝∫ｅｘｐ（－ｔ）／（１＋ｔ）ｄｔ＝０．５９６３　　　　（ボレルの総和法）

　０．５９６３４７３５５・・・はゴンペルツの定数と呼ばれる（１８２５年）．オイラーはこの値をΣ（－１）^nｎ！と書き直した．

［３］１＋２＋３＋４＋・・・＝－１／１２

Ｓ＝１＋２＋３＋４＋・・・

４Ｓ＝　４　　＋８　　＋１２　　＋１６＋・・・

－３Ｓ＝１－２＋３－４＋・・・

　ここで，

ｌｉｍ（ｘ－２ｘ^2＋３ｘ^3－４ｘ^4＋・・・）　　（ｘ→１）

＝ｌｉｍｘ／（１＋ｘ）^2

より

－３Ｓ＝１－２＋３－４＋・・・＝１／（１＋１）^2＝１／４

Ｓ＝－１／１２

［４］１^3＋２^3＋３^3＋４^3＋・・・＝１／１２０

　ゼータ関数ζ（ｓ）＝１^-s＋２^-s＋３^-s＋４^-s＋・・・において，

　　ζ（－１）＝－１／１２，ζ（－３）＝１／１２０

［５］１－１^1＋２^2－３^3＋４^4－・・・＝０．７０４１６９９６・・・

＝１＋Σ（－１）^nｎ^n／ｎ！∫ｔ^nｅｘｐ（－ｔ）ｄｔ

＝∫ｅｘｐ（ｕ－ｕｅｘｐ（ｕ））ｄｕ

＝∫ｄｘ／ｘ^x＝０．７０４１６９９６・・・

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