１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４

はライプニッツ級数，グレゴリー級数と呼ばれますが，それよりも３００年近い前（１４００年頃），インドのマーダヴァが証明済みだったとのことです．

　それでに対して，

　　１−２＋３−４＋・・・＝１／４

　　１＋１＋１＋１＋・・・＝−１／２

　　１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２

　　１^3＋２^3＋３^3＋４^3＋・・・＝１／１２０

　　０！−１！＋２！−３！＋４！−・・・＝０．５９６３

などは発散級数についての「総和法」で説明されます．

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［１］１−２＋３−４＋・・・＝１／４

＝ｌｉｍ（ｘ−２ｘ^2＋３ｘ^3−４ｘ^4＋・・・）　　（ｘ→１）

＝ｌｉｍｘ／（１＋ｘ）^2＝１／４　　　　（アーベルの総和法）

［２］０！−１！＋２！−３！＋４！−・・・＝０．５９６３

＝Σ（−１）^n∫ｔ^nｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ

＝∫ｅｘｐ（−ｔ）／（１＋ｔ）ｄｔ＝０．５９６３　　　　（ボレルの総和法）

　０．５９６３４７３５５・・・はゴンペルツの定数と呼ばれる（１８２５年）．オイラーはこの値をΣ（−１）^nｎ！と書き直した．

［３］１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２

Ｓ＝１＋２＋３＋４＋・・・

４Ｓ＝　４　　＋８　　＋１２　　＋１６＋・・・

−３Ｓ＝１−２＋３−４＋・・・

　ここで，

ｌｉｍ（ｘ−２ｘ^2＋３ｘ^3−４ｘ^4＋・・・）　　（ｘ→１）

＝ｌｉｍｘ／（１＋ｘ）^2

より

−３Ｓ＝１−２＋３−４＋・・・＝１／（１＋１）^2＝１／４

Ｓ＝−１／１２

［４］１^3＋２^3＋３^3＋４^3＋・・・＝１／１２０

　ゼータ関数ζ（ｓ）＝１^-s＋２^-s＋３^-s＋４^-s＋・・・において，

　　ζ（−１）＝−１／１２，ζ（−３）＝１／１２０

［５］１−１^1＋２^2−３^3＋４^4−・・・＝０．７０４１６９９６・・・

＝１＋Σ（−１）^nｎ^n／ｎ！∫ｔ^nｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ

＝∫ｅｘｐ（ｕ−ｕｅｘｐ（ｕ））ｄｕ

＝∫ｄｘ／ｘ^x＝０．７０４１６９９６・・・

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