1-1/3+1/5-1/7+・・・=π/4
はライプニッツ級数,グレゴリー級数と呼ばれますが,それよりも300年近い前(1400年頃),インドのマーダヴァが証明済みだったとのことです.
それでに対して,
1-2+3-4+・・・=1/4
1+1+1+1+・・・=-1/2
1+2+3+4+・・・=-1/12
1^3+2^3+3^3+4^3+・・・=1/120
0!-1!+2!-3!+4!-・・・=0.5963
などは発散級数についての「総和法」で説明されます.
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[1]1-2+3-4+・・・=1/4
=lim(x-2x^2+3x^3-4x^4+・・・) (x→1)
=limx/(1+x)^2=1/4 (アーベルの総和法)
[2]0!-1!+2!-3!+4!-・・・=0.5963
=Σ(-1)^n∫t^nexp(-t)dt
=∫exp(-t)/(1+t)dt=0.5963 (ボレルの総和法)
0.596347355・・・はゴンペルツの定数と呼ばれる(1825年).オイラーはこの値をΣ(-1)^nn!と書き直した.
[3]1+2+3+4+・・・=-1/12
S=1+2+3+4+・・・
4S= 4 +8 +12 +16+・・・
-3S=1-2+3-4+・・・
ここで,
lim(x-2x^2+3x^3-4x^4+・・・) (x→1)
=limx/(1+x)^2
より
-3S=1-2+3-4+・・・=1/(1+1)^2=1/4
S=-1/12
[4]1^3+2^3+3^3+4^3+・・・=1/120
ゼータ関数ζ(s)=1^-s+2^-s+3^-s+4^-s+・・・において,
ζ(-1)=-1/12,ζ(-3)=1/120
[5]1-1^1+2^2-3^3+4^4-・・・=0.70416996・・・
=1+Σ(-1)^nn^n/n!∫t^nexp(-t)dt
=∫exp(u-uexp(u))du
=∫dx/x^x=0.70416996・・・
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