定幅図形であるルーローの三角形では最高点を同じ高さに保つことはできても中心位置は上下にブレて高さを一定には保てません．今回のコラムではルーローの三角形の重心の高さが一定に保たれたまま滑らかに転がることができる道を求めてみることにします．
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【１】ルーローの三角形
ルーローの三角形の重心を極座標の原点とします．１辺の長さが２の正三角形に円弧をつけたルーローの三角形の場合，重心から頂点までの距離は２√３／３ですから，下辺は
２^2＝ｒ^2＋（２√３／３）^2＋２（２√３／３）ｒｓｉｎθ
より
ｒ＝２（ｓｉｎθ＋（ｓｉｎ^2θ＋２）^1/2）／√３ （-5π/6≦θ≦-π/6）
で表されます．したがって，解くべき方程式は
ｄθ／ｄｘ＝−√３（ｓｉｎθ−（ｓｉｎ^2θ＋２）^1/2）／４ （θ(0)=-π/2）
この方程式は変数分離形ですから，
∫(-π/2,θ)（ｓｉｎθ＋（ｓｉｎ^2θ＋２）^1/2）ｄθ＝√３／２∫(0,x)ｄｘ
に帰着されます．
左辺は
−ｃｏｓθ＋√２Ｅ（−１／２）＋√２Ｅ（θ，−１／２）
ですから，第２種楕円積分を変数変換したものになり簡単な形には表せません．右辺は√３／２ｘですから，
ｘ＝−２｛ｃｏｓθ−√２Ｅ（−１／２）−√２Ｅ（θ，−１／２）｝／√３
ｙ＝−２（ｓｉｎθ＋（ｓｉｎ^2θ＋２）^1/2）／√３
（-5π/6≦θ≦-π/6）
直交座標ｙ（ｘ）や極座標ｒ（θ）の形には表せそうにありませんから，パラメータ表示（ｘ（θ），ｙ（θ））のままにしておきます．
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【２】もうひとつの正方形の内転形
正方形の内転形となるフルヴィッツ・藤原曲線（８次曲線）の接線極座標における方程式は
ｐ（ｕ）＝ａ＋ｂｃｏｓ（３ｕ）
で表されます．
ｐ’（ｕ）＝−３ｂｓｉｎ（３ｕ）
ｐ”（ｕ）＝−９ｂｃｏｓ（３ｕ）
ρ（ｕ）＝ｐ（ｕ）＋ｐ”（ｕ）＝ａ−８ｂｃｏｓ（３ｕ）≧０
より，ａ＝８ｂとおきます．
ｐ（ｕ）＝８ｂ＋ｂｃｏｓ（３ｕ）
また，一定の幅１をもつという所与の条件
ｐ（ｕ）＋ｐ（ｕ＋π）＝１６ｂ＝１，ｂ＝１／１６，ａ＝１／２
より
ｐ（ｕ）＝１／２（１＋１／８ｃｏｓ（３ｕ））
で与えられます．
ｐ’（ｕ）＝−３／１６ｓｉｎ（３ｕ）
ｐ”（ｕ）＝−９／１６ｃｏｓ（３ｕ）
ここで，接線極座標と直交座標，極座標の関係は
ｘ＝ｐ（ｕ）ｃｏｓ（ｕ）−ｐ’（ｕ）ｓｉｎ（ｕ）
ｙ＝ｐ（ｕ）ｓｉｎ（ｕ）＋ｐ’（ｕ）ｃｏｓ（ｕ）
ｘ’（ｕ）＝−（ｐ（ｕ）＋ｐ”（ｕ））ｓｉｎ（ｕ）
ｙ’（ｕ）＝（ｐ（ｕ）＋ｐ”（ｕ））ｃｏｓ（ｕ）
ｒ＝（ｘ^2＋ｙ^2）^1/2＝（ｐ^2＋ｐ’^2）^1/2
＝（１／４^4（７３＋１６ｃｏｓ（３ｕ）−８ｃｏｓ^2（３ｕ））^1/2
θ＝ｕ＋ａｒｃｔａｎ（ｐ’／ｐ）
で与えられます．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
７３＋１６ｃｏｓ（３ｕ）−８ｃｏｓ^2（３ｕ）＝１６ｒ^2
ｃｏｓ（３ｕ）＝１−（８１／８−２ｒ^2）^1/2
ｒ^2＝−（１−ｃｏｓ３ｕ）^2／２＋８１／１６
ｒ^2＝−２（ｓｉｎ３ｕ／２）^4＋８１／１６
ここでもしθ＝ｕならば，下辺は−２π／３≦θ≦０なので，
ｒ＝｛−（１−ｃｏｓ３θ）^2／２＋８１／１６｝^1/2
＝｛−２（ｓｉｎ３θ／２）^4＋８１／１６｝^1/2 （-2π/3≦θ≦0）
と表されますが，
θ＝ｕ＋ａｒｃｔａｎ（ｐ’／ｐ）
ですから簡単な形には表せません．そのため，ｒ（θ）でなくｒ（ｕ）のままにしておきます．
したがって，解くべき方程式は
ｄｕ／ｄｘ＝｛−２（ｓｉｎ（３ｕ／２））^4＋８１／１６｝^-1/2
この方程式は変数分離形ですから，
∫(u(0),ｕ)｛７３＋１６ｃｏｓ（３ｕ）−８ｃｏｓ^2（３ｕ）｝^1/2ｄｕ＝４∫(0,x)ｄｘ
に帰着されます．
ここでｕ(0)はθ=-π/3のときのｕの値ですが，ｕ＝ｎπ／３のとき，ａｒｃｔａｎ（ｐ’／ｐ）＝０より，ｕ＝θとなりますから
∫(-π/3,ｕ)｛７３＋１６ｃｏｓ（３ｕ）−８ｃｏｓ^2（３ｕ）｝^1/2ｄｕ＝４∫(0,x)ｄｘ
−２π／３≦θ≦０ → −２π／３≦ｕ≦０
ルーローの三角形では（ｓｉｎ^2ｘ＋ａ^2）^1/2の形でしたが，フルヴィッツ・藤原曲線（８次曲線）では（−ｓｉｎ^4ｘ＋ａ^2）^1/2の形になっています．しかし，円や正多角形の場合とは違って，この積分を手計算で求めることはかなり大変なので，阪本ひろむ氏に数式処理ソフトMathmaticaを用いて計算してもらったのですが，言葉が一切入らない数式が数ページにも及び簡単な形には表せませんでした．
ともあれ，パラメータ表示
ｘ＝ｘ（ｕ）＝１／４∫(-π/3,ｕ)｛７３＋１６ｃｏｓ（３ｕ）−８ｃｏｓ^2（３ｕ）｝^1/2ｄｕ
ｙ＝−１／４｛７３＋１６ｃｏｓ（３ｕ）−８ｃｏｓ^2（３ｕ）｝^1/2
（−２π／３≦ｕ≦０）
することができました．
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【３】結果
座標間の幾何学的関係さえわかれば，これらの問題の計算方法を示すのは簡単なのですが，残念ながらいずれの問題でも直交座標，極座標での方程式の形には表すことはできませんでした．それでも，パラメ−タ表示の形でならば道の形を決定することができたのでやれやれというところです．
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