【１】ボロノイ細胞の形

　ｎ次元ボロノイ細胞の決定に関与する基底ベクトルは２^n−１個あり，したがって面の数は最大で２（２^n−１）個であることはわかったが，面の形はどうなるのだろうか？

　ボロノイベクトルにはボロノイ細胞のｎ−１次元超平面の中心を通過するもの，ボロノイ細胞の角（ｎ−２次元超平面，・・・）を通過するなどがある．角を通るベクトルもごくわずかのところでボロノイ細胞のｎ−１次元面に関与していないだけなので，面心を通るベクトルと少なくとも同じ程度に重要である．

　たとえば，ｖi(i=1-n)はｎ−１次元面の面心を通るのだが，ｖ0は２次元でも３次元でも頂点（０次元面）を通る．組み合わせ的方法によって，ボロノイベクトルが通る位置とその数を求めてみよう．

［１］２次元の場合（ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＝０）

点：ｖ0

辺：ｖ1，ｖ2

［２］３次元の場合（ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＋ｖ3＝０）

点：ｖ0

面：ｖ1，ｖ2，ｖ3

辺：ｖ1＋ｖ2，ｖ2＋ｖ3，ｖ1＋ｖ3・・・この図形には平行な辺（１次元面）が３組ある

［３］４次元の場合（ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＋ｖ3＋ｖ4＝０）

点：ｖ0

胞：ｖ1，ｖ2，ｖ3，ｖ4

面：ｖ1＋ｖ2，ｖ1＋ｖ3，ｖ1＋ｖ4，ｖ2＋ｖ3，ｖ2＋ｖ4，ｖ3＋ｖ4・・・この図形には平行な面（２次元面）が６組ある

辺：ｖ1＋ｖ2＋ｖ3，ｖ1＋ｖ2＋ｖ4，ｖ1＋ｖ3＋ｖ4，ｖ2＋ｖ3＋ｖ4

［４］ｎ次元の場合（ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＋・・・＋ｖn＝０）

　ｇkをｎ次元ボロノイベクトルのｋ次元面の数とし，構成要素を

　　（ｇ0，ｇ1，・・・，ｇn-2，ｇn-1）

とすると

ｇn-1：nＣ1＝ｎ

ｇn-2：nＣ2＝ｎ（ｎー１）／２・・・この図形には平行なｎ−２次元面がｇn-2組ある

ｇ1　：nＣn-1＝ｎ

ｇ0　：nＣn＝１

計 　：２^n−１

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　ボロノイ細胞のｎ−１次元面の数は２（２^n−１）個あり，それらの形はｎ−２次元面の退化・非退化によって決まってくる．

　３次元の場合，６組の平行な辺によって切頂八面体が定められることになるのだが，

点：ｖ0　　　　　　　　　　　　　→　六角形

面：ｖ1，ｖ2，ｖ3　　　　　　　　→　六角形

辺：ｖ1＋ｖ2，ｖ2＋ｖ3，ｖ1＋ｖ3 →　四角形

となり，４組（８枚）の六角形面と３組（六枚）の四角形面からなる１４面体が得られる．３次元空間を充填するとき，切頂八面体は各頂点の周りに４個ずつ集まる．１点に４個の多面体が会すると頂点や辺だけで接している多面体がなくなり，ボロノイ分割に対して安定となる．

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　４次元の場合は

点：ｖ0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　切頂八面体

胞：ｖ1，ｖ2，ｖ3，ｖ4　　　　　　　　　　　　　　　　　→　切頂八面体

面：ｖ1＋ｖ2，ｖ1＋ｖ3，ｖ1＋ｖ4，ｖ2＋ｖ3，ｖ2＋ｖ4，ｖ3＋ｖ4→六角柱

辺：ｖ1＋ｖ2＋ｖ3，ｖ1＋ｖ2＋ｖ4，ｖ1＋ｖ3＋ｖ4，ｖ2＋ｖ3＋ｖ4→六角柱

となり，５組（１０個）の切頂八面体と１０組（２０個）の六角柱からなる３０胞体となる．これはケルビンの立体の４次元版で，各頂点の周りに５個ずつ集まる．

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