【１】ボロノイベクトル

　ここでは，ｎ次元格子の幾何学的分類をボロノイ細胞を使って考えるのだが，ボロノイ細胞の決定に関与するベクトルをボロノイベクトルと呼ぶことにすると，ｎ個の独立なベクトル

　　ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn

あるいは，それらの和が

　　ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＋・・・＋ｖn＝０

を満たす１次従属なベクトルｖ0を加えたｎ＋１個のベクトル

　　ｖ0，ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn

でボロノイ細胞を決定することができる（ｖ0をひとつ追加して考えることで，重要な進歩をもたらすことができる）．

　ボロノイベクトルは，ｖと−ｖを同じベクトルと考えると

　　ｍ0ｖ0＋ｍ1ｖ1＋ｍ2ｖ2＋・・・＋ｍnｖn　　　（ｍiは０または１）

で表すことができるのだが，ｍiは同時に０または１であってはならない．また，たとえば，３次元の場合（ｖ0＋ｖ1＋ｖ2＋ｖ3＝０）では

　　ｖ0＋ｖ3＝−（ｖ1＋ｖ2）

のようにそれを表すベクトルは２つずつある．したがって，ボロノイベクトルは

　　（２^(n+1)−２）／２＝２^n−１

個あることになる．

　−１を掛けたものを含めると２（２^n−１）個あり，ボロノイ細胞の２（２^n−１）個のｎ−１次元平行面に対応する．そのため，２次元格子の多くについてボロノイ細胞は６角形，３次元格子の多くについてボロノイ細胞は１４面体となるのである．

　このことは高次元の場合に一般化できて，４次元格子では３０胞体，５次元格子では６２房体になる．ｆkをｎ次元多胞体のｋ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を構成要素とするｎ次元正多胞体で，ｎ−１次元胞数ｆn-1を求めると

　ｆn-1（ｎ−１次元面の数）

ｎ＝２　　　ｆ1＝６

ｎ＝３　　　ｆ2＝１４

ｎ＝４　　　ｆ3＝３０

ｎ＝５　　　ｆ4＝６２

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