GOLDBERG M.: the infinite families of tetrahedral space-filler, J. Combinat. Theory A16(1974), 384-354

には空間充填四面体が５種類紹介されている．それらにはSommerville No.1-4とHill, second typeと命名されている．以下，これらをＳ１〜Ｓ４，Ｈ０と略記する．

　一方，

　　ENGEL P.: Die Typen von Wirkungsbereichspolyedern in den symmorphen kubischen Raumgruppen, Zeitschr. Kristallographie, 157(1981), 259-275

には６種類の空間充填四面体が紹介されていて，Sommerville No.1-4とHadwiger-Hill H30(0),H31(0)とある．以下，これらをＳ１〜Ｓ４，Ｈ１〜Ｈ２と略記する．

　Ｓ１は工藤の三角錐（２／２４立方体），Ｓ２は１／２４立方体，Ｓ３は１／１２立方体，Ｈ１は鼈臑（べつどう）である．鼈臑（べつどう）は単位立方体［０，１］^3の１≧ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる部分である．すなわち，１／６立方体であって，秋山仁先生によりテトラドロンと名付けられている．これらはすでに木工製作が済んでいるので，今回は中川宏さんにＳ４，Ｈ２，Ｈ０について検討して頂いた．

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【１】空間充填四面体の系譜

　Ｈ２は鼈臑（テトラドロン）を２分割した多面体で鏡像体が存在する．鼈臑にはもうひとつ四面体になる切り方があり，それがＳ３（１／１２立方体）であるが，Ｓ３は左右対称である．

　Ｓ４はＨ２を２個貼り併せた多面体であり左右対称になる．これを４個組み合わせると工藤の三角錐になる．

　Ｈ０は工藤の三角錐の二等辺三角形面を非対称に切って全体として左右対称の四面体にしたものである．

　合同分割が左右対称になるのか鏡像になるのかは，頭の中だけで考えてもなかなかわからない問題である．以下，空間充填四面体の系譜を示す．

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【２】雑感

　空間充填四面体についてさえ，これですべてかどうかわからないのであるがともあれ，７種類の空間充填四面体が揃った．

　なお，１≧ｘ≧ｙ≧ｚ≧０の鼈臑（べつどう）は立方体の中心を通る平面ｘ＋ｙ＋ｚ＝３／２で２等分することができる．この図形も空間充填多面体であり，秋山仁先生によりペンタドロンと名付けられた．

　ペンタドロンは平行多面体の元素σである．

　　［定理］平行多面体の元素数は１である（立方体σ12（σ96），６角柱σ144，菱形１２面体σ192，長菱形１２面体σ384，切頂８面体σ48）．

　鼈臑（テトラドロン）はσ2であるが，σ2にはいくつかの空間充填異性体が存在する．

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