【Ｑ６】円の最大分割数（おまけ）

（問）１つの円をｎ本の弦で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？

（答）パンケーキをｎスライスしたときの最大ピース数を求めよという問題ですが，この問題は実は円という条件を取り去っても同じ答えになります．すなわち，平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？

　分割される領域数が最大になるためには，新しい線（弦）を引くとき，それ以前のすべての線（弦）と新しい交点で交わるようにします．既存の交点を通ると分割される領域が最大数にならないからです．

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７

はすぐに求められます．このことからｎ本目の線（弦）を引くと新しい領域がｎ個増えることがわかります．これを式で表すと

　　Ｓn＝Ｓn-1＋ｎ

　　Ｓn＝Ｓn-1＋ｎ

　　Ｓn-1＝Ｓn-2＋ｎ−１

　　・・・・・・・・・・

　　Ｓ1＝Ｓ0＋１

　　Ｓ0＝１

を辺々加えると，一般式

　　Ｓn＝１＋（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）＝１＋ｎ（ｎ＋１）／２

　　　 ＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

が得られます．

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７，

　　Ｓ4＝１１，Ｓ5＝１６，Ｓ6＝２２，Ｓ7＝２９，

　　Ｓ8＝３７，Ｓ9＝４６，Ｓ10＝５６，・・・

と続くというわけです．

　パンケーキではなく，ケーキをｎスライスしたときの最大ピース数を求めよという問題では，

　　Ｓn＝（ｎ＋２）（ｎ＋３）／６

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝８，

　　Ｓ4＝１５，Ｓ5＝２６，Ｓ6＝４２，Ｓ7＝６４，

　　Ｓ8＝９３，Ｓ9＝１３０，Ｓ10＝１７６，・・・

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