古代ギリシャ人はｎ＝２，３，５，７のとき，２^n−１が素数になることを知っていました．ｎが素数でないときには素数を表さないことは明らかですから，それとは逆に，すべての素数に対して，２^n−１は素数になると考えていたようです．

　ｎ＝１３，すなわち，２^13−１＝８１９１も素数なのですが，１５３６年，ドイツの数学者レギウス（ウーリヒ・リーガー）はｎ＝１１は素数であるけれども，２^11−１は素数でないこと

　　２^11−１＝２０４７＝２３・８９

を発見しました．

　１６０３年，カタルディはｎ＝１７，１９の場合に素数であることを示しましたが，２３，２９，３１，３７に対しても素数であると述べました．ｎ＝３１の場合は素数なのですが，ｎ＝２３，３７は素数ではないこと（フェルマー１６４０年），ｎ＝２９は素数ではないこと（オイラー，１７３８年）が示されました．

　メルセンヌはｎ＝２，３，５，７，１３，１７，１９，３１，６７，１２７，２５７に対しては素数であるが，それ以外のｎ＜２５７に対しては素数にならない述べましたが，その主張の一部も間違いでした．

　ｎ＝３１は素数であること（オイラー，１７５０年），ｎ＝１２７は素数であること（リュカ，１８７６年）が確かめられましたが，ｎ＝６１も素数であること（パヴシン，１８８３年）も確かめられ，メルセンヌ予想は間違いであることが証明されたのです．さらに，ｎ＝８９も素数であること（パワーズ，１９１１年），ｎ＝１０７も素数であること（パワーズ，１９１４年），ｎ＝６７は素数でないこと

　　２^67−１＝１９３７０７７２１・７６１８３８２５７２８７

も判明しました．

　１９４７年，ｎ＜２５８では

ｎ＝２，３，５，７，１３，１７，１９，３１，６１，８９，１０７，１２７

の場合に素数になることが完全に決定されました．１９５２年，ロビンソンがｎ＝５２１，６０７，１２２９，２２０３，２２８１の場合もリストの含めなければならないことを示し，現在，５０個ほどのメルセンネ素数が存在することが確認されています．

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