正方形に２本の対角線を引いたグラフがＫ4であるが，立体視すると四角錐（ピラミッド）を上から見た図に見えるだろう．

　それは普通の見え方であるが，正四面体Ｋ4を横から見た図に見えないだろうか？　Ｋ4は正方形に２組の対角線を引いたグラフ，あるいは，三角錐を上から見た図として表現できる．

　正五角形に５本の対角線を引いたグラフがＫ5であるが，同様に，立体視すると５つの四面体が見えるはずである．これが４次元正５胞体（４次元単体）であるが，これか見えれば，高次元幾何学の入り口に立っているのと同然である．

　正六角形に３本の対角線を引いたグラフは各面に対角線が１本のはいった立方体に立体視できるが，少し我慢すると，正四面体（正５胞体）の集合にみえるようになる．これは６次元単体であるが，対角線の交点が１３個でなく，１５個あるように描いた方がわかりやすいかもしれない．

　なお，

［Ｑ］ある会合で，３人が互いに知り合いであるか，３人はいずれも初対面であるか，いずれかになるようにするには最低何人出席しなければならないか？

（同色の三角形問題）

［Ａ］完全グラフＫ4でもＫ5でもそのような状況は生じない．Ｋ6ではじめてそのような状況になるのである．

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［Ｑ］正多角形面をもつ三角錐と四角錐の２つの角錐がある．これらの角錐の正三角形面同士を貼り合わせると何面体ができるか？

という有名な（悪名高き）幾何学問題がある．

［Ａ］答えは４＋５−２＝７面ではない．この問題では２つの菱形共面を生じるため，７−２＝５面というのが正解である．

　正四面体２個と正八面体１個を貼り合わせると平行六面体ができる．これは建築学ではオクテット・トラスト呼ばれる単位胞であって，正三角形２枚が菱形共面を生じるため，６面体になる．

　また，正四面体４個と正八面体１個を貼り合わせると１辺の長さが２倍の正四面体ができる．これによって，２つの正三角形が折れ曲がらずに，同一平面上に存在してひとつの菱形となることが明らかになった．

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