■素数と素因数分解(その7)

【1】フェルマーの定理

 pが素数なら,a^p-aはpで割り切れる.

 pが素数,aとpは互いに素ならば,a^p-1-1はpで割り切れる.

 nが素数であることは2^n-1が素数であるための必要条件です.しかし,逆の十分性は成り立ちません.

  2^2-1=3  (素数)

  2^3-1=7  (素数)

  2^5-1=31  (素数)

  2^7-1=127  (素数)

  2^11-1=2047=23・89  (非素数)

  2^13-1=8191  (素数)

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【2】フェルマーの発見

 フェルマーは

  2^37-1=137438953471=223・61631877

を発見しています.

 p=37n+1、n=1は偶数なので,p=74n+1型と書ける.

  n=1:p=75(非素数)

  n=2:p=149(素数)であるが,因数ではない.

  n=3:p=223(素数)であり,因数でもある.

  137438953471=223・61631877

 フェルマーは,この発見は

[1]nが素数でないとき,2^n-1は素数ではない

[2]nが素数のとき,2^n-2は2nで割り切れる

[3]nが素数であり,pが2^n-1の素因数であるとき,p-1の倍数である

に基づいていると書いています.

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