【1】フェルマーの定理
pが素数なら,a^p-aはpで割り切れる.
pが素数,aとpは互いに素ならば,a^p-1-1はpで割り切れる.
nが素数であることは2^n-1が素数であるための必要条件です.しかし,逆の十分性は成り立ちません.
2^2-1=3 (素数)
2^3-1=7 (素数)
2^5-1=31 (素数)
2^7-1=127 (素数)
2^11-1=2047=23・89 (非素数)
2^13-1=8191 (素数)
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【2】フェルマーの発見
フェルマーは
2^37-1=137438953471=223・61631877
を発見しています.
p=37n+1、n=1は偶数なので,p=74n+1型と書ける.
n=1:p=75(非素数)
n=2:p=149(素数)であるが,因数ではない.
n=3:p=223(素数)であり,因数でもある.
137438953471=223・61631877
フェルマーは,この発見は
[1]nが素数でないとき,2^n-1は素数ではない
[2]nが素数のとき,2^n-2は2nで割り切れる
[3]nが素数であり,pが2^n-1の素因数であるとき,p-1の倍数である
に基づいていると書いています.
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