古代ギリシャ人はｎ＝２，３，５，７，１３のとき，２^n−１が素数になることを知っていました．ｎ＝１１の場合，素数でないこと

　　２^11−１＝２０４７＝２３・８９

を発見したのは，ドイツの数学者レギウス（ウーリヒ・リーガー）でした（１５３６年）．

　その後，メルセンヌ素数にｎ＝１７，１９，３１が追加されましたが，フェルマーは

　　２^23−１＝８３８８６０７＝４７・１７８４８１

　　２^37−１＝１３７４３８９５３４７１＝２２３・６１６３１８７７

を発見しています．

　メルセンヌ自身はメルセンヌ素数にｎ＝１２７を追加しましたが，ｎ＝８９と１０７が抜けていました．

　　２^67−１＝１９３７０７７２１・７６１８３８２５７２８７

→ｎ＝２，３，５，７，１３，１７，１９，３１，６１，８９，１０７，１２７，・・・

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【１】フェルマーの定理

　ｐが素数なら，ａ^p−ａはｐで割り切れる．

　ｐが素数なら，ａとｐは互いの素ならば，ａ^p-1−１はｐで割り切れる．

　ｎが素数であることは２^n−１が素数であるための必要条件です．しかし，逆の十分性は成り立ちません．

　　２^2−１＝３　　（素数）

　　２^3−１＝７　　（素数）

　　２^5−１＝３１　　（素数）

　　２^7−１＝１２７　　（素数）

　　２^11−１＝２０４７＝２３・８９　　（非素数）

　　２^13−１＝８１９１　　（素数）

　フェルマーの定理の応用性は高く，

　　２^4−１＝１５　　（非素数）

　　２^6−１＝６３　　（非素数）

　　２^8−１＝２５５　　（非素数）

　　２^9−１＝５１１＝７・７３　　（非素数）

　　２^12−１＝１０２３＝３・３４１　　（非素数）

などはすぐ判定できます．

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