｛ａn｝＝｛１，４，６，７，１０，１１，１３，１６｝

　｛ｂn｝＝｛２，３，５，８，９，１２，１４，１５｝

は１から１６までのすべての数字を含む排他的数列ですが，驚くべき性質をもっています．

　１＋４＋６＋７＋１０＋１１＋１３＋１６＝２＋３＋５＋８＋９＋１２＋１４＋１５＝６８

はすぐ気づきますが，

　１^2＋４^2＋６^2＋７^2＋１０^2＋１１^2＋１３^2＋１６^2＝２^2＋３^2＋５^2＋８^2＋９^2＋１２^2＋１４^2＋１５^2＝７４８

　１^3＋４^3＋６^3＋７^3＋１０^3＋１１^3＋１３^3＋１６^3＝２^3＋３^3＋５^3＋８^3＋９^3＋１２^3＋１４^3＋１５^3＝９２４８

はなかなか気づきににくいでしょう．

　８対｛１，２｝，・・・，｛１５，１６｝で考えると一方が｛ａn｝に，他方が｛ｂn｝に入っています．また，｛ａn｝，｛ｂn｝にはそれぞれ４つの偶数，４つの奇数が属しています．

　２の累乗，たとえば，１から３２までのすべての数字を含む排他的数列では４乗和でも，１から６４までのすべての数字を含む排他的数列では５乗和でも等しくなるのだそうです．

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［１］４対｛１，２｝，・・・，｛７，８｝で考えると一方が｛ａn｝に，他方が｛ｂn｝にはいる．

［２］｛ａn｝，｛ｂn｝にはそれぞれ４つの偶数，４つの奇数が属しています．

　ここで，仮に

｛ａn｝＝｛１，３，５，７｝

｛ｂn｝＝｛２，４，６，８｝

とすると，

｛ａn^2｝＝｛１，９，２５，４９｝

｛ｂn^2｝＝｛４，１６，３６，６４｝

｛ｃn｝＝｛ｂn^2−ａn^2｝＝｛３，７，１１，１５｝・・・等差数列

　したがって，うまく交換することによって

｛ａn^2｝＝｛４，９，２５，６４｝

｛ｂn^2｝＝｛１，１６，３６，４９｝

｛ｃn｝＝｛ａn^2−ｂn^2｝＝｛３，−７，−１１，１５｝＝０

とすることができた．

　２乗の階差をとったが，３乗ではいかに？

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｛ａn^3｝＝｛１，２７，１２５，３４３｝

｛ｂn^3｝＝｛８，６４，２１６，５１２｝

｛ｃn｝＝｛ｂn^3−ａn^3｝＝｛７，３７，９１，１６９｝

さらに階差をとる

｛ｄn｝＝｛ｂn^3−ａn^3｝＝｛３０，５４，７８｝・・・等差数列

になる．等差数列であるから，５４・２＝３０＋７８

　１から８までのすべての数字を含む排他的数列では無理かもしれないが，最終的に｛ｃn｝に±の符号を付けたものの和が０にならなければならない．

　１から１６までのすべての数字を含む排他的数列では，それが可能なのであるが，具体的なアルゴリズムはどうなっているのだろうか？

｛ａn^3｝＝｛１，２７，１２５，３４３，７２９，１３３１，２１９７，３３７５｝｝

｛ｂn^3｝＝｛８，６４，２１６，５１２，１０００，１７２８，２７４４，４０９６｝

｛ｃn｝＝｛ｂn^3−ａn^3｝＝｛７，３７，９１，１６９，２７１，３９７，５４７，７２１｝

さらに階差をとる

｛ｄn｝＝｛ｃn+1−ｃn｝＝｛３０，５４，７８，１０２，１２６，１５０，１７４｝・・・等差数列

になる．

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