今回のコラムでは泡細胞に関する問題を集めてみました．まず最初に，泡細胞とはまったく無関係に見えるのですが，１６４０年頃に得られた問題の答えから始めたいと思います．この答えは泡細胞の問題にも適用できるのです．
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【１】最小シュタイナー木問題
［Ｑ］平面上に３つの定点Ａ，Ｂ，Ｃがある．この平面上に点Ｐをとって，ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰが最小になるようにせよ．
［Ａ］この問題はフランスの数学者フェルマーがイタリアの物理学者トリチェリ，数学者カヴァリエリに出題したものとして有名な問題で，求める点Ｐをフェルマー点といいます．点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にありますが，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ＜１２０°のときには，３頂点に至る距離の和が最小となる点は３辺を等角１２０°に見込む点です．∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃのいずれかが≧１２０°のときには，それぞれ頂点Ａ，頂点Ｂ，頂点Ｃになります．
微分積分の入門書に「平面上に３つの定点Ａ，Ｂ，Ｃがある．この平面上に点Ｐをとって，ＡＰ^2＋ＢＰ^2＋ＣＰ^2が最小になるようにせよ」という問題が偏導関数の応用例として載せられています．その点Ｐは重心です．３定点が４定点であっても，同じ議論になるのですが，距離の２乗の和に特に具体的な意味があるようには思えません．むしろ，２乗を取り去ったほうが問題としては自然です．たとえば，「Ａ，Ｂ，Ｃ３軒の家に電線をひきたい．電線の長さを最小にするにはどこの柱を立てればよいか」ではＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にする実用価値のある問題になります．このような最短配線問題は最小木問題（問題の発案者シュタイナーに因んで最小シュタイナー木問題）と呼ばれていますが，ＶＬＳＩ回路を設計するときの最も基本的な技術となっています．
なお，三角形の内心は３辺への距離のうちで一番小さいものが最大となる点（マックスミニ点），外心は３頂点に至る最大距離が最小となる点（ミニマックス点）です．同様に，垂心は三角形に内接する三角形の周長が最小になる点，重心は３頂点に至る距離の２乗の和が最小となる点です．
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【２】オイラーの多面体定理
凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，
ｖ−ｅ＋ｆ＝２ （オイラーの多面体定理）
が成り立ちます．
量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー標数と呼ばれます．オイラー標数は幾何学において重要な概念である位相不変量の草分けであり，オイラーの多面体定理を利用すると，
１）どの面も同数の辺で囲まれている．
２）どの頂点にも同数の辺が集まっている．
という仮定をするだけで，正多角形であるという仮定をまったくせずとも正多面体は５種類しかないことを証明可能になります．
また，オイラーの多面体定理で示される制限から，単一の凸ｎ角形で平面を敷き詰めるものはｎ≧７では存在しないこと，２次元以上ですべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことなどが導き出されます．
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【３】石鹸の泡のトポロジー
オイラーの定理が物理的作用と結びつくと，興味のある幾何学的効果が出現してきます．たとえば，２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．このことから，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．
ここで，次数とは頂点に結合する辺の個数のことで，ｄｅｇで表すことにすると，
２ｅ＝Σｄｅｇ（握手定理）
が成り立ちます．石鹸の泡の場合は
２ｅ＝３ｖ （握手定理）
また，平面図形（地図）は１つの面が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますから，オイラー標数は１となります．
ｖ−ｅ＋ｆ＝１
しかし，外部領域を含めるならば，多面体の場合と同様に
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
が成り立つのです．
オイラーの定理と握手定理を応用すると，
ｖ−ｅ＋ｆ＝１ （オイラーの定理）
２ｅ＝３ｖ （握手定理）
したがって，コラム「オイラーの多面体定理をめぐって」の場合と同様の議論
ｐ~＝２ｅ／ｆ＝６−６／ｆ→６ （ｆ→∞）
でもって，平均的な泡細胞の形は６角形を中心とした分布をなし，６辺以上の泡細胞を６辺以下の泡細胞と相殺させる必要性から６から遠ざかることはほとんどないに違いないということになります．
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［Ｑ］３次元では泡細胞は１４面体を中心とした分布をなし（面数の平均は＜１４），すべての泡細胞が１４面以上の面をもつことは不可能である．
［Ａ］３次元の空間が多面体により分割されるとき，３個の多面体の面が合して１本の稜線を形成し（内容的には同じことであるが）４本の稜線が１点に集まる．集合体から１個の多面体を分離して考えてみると，分割多面体の幾何学的性格で最も重要なものは，多面体のいずれの頂点にも３本の稜が集まるということである．そしてこのような多面体で空間を充填すれば，１個の頂点は４個の多面体によって共有され，そこには必ず４本の稜が集まる形になる．
各分割多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖi，ｅi，ｆiとする．
ｖi−ｅi＋ｆi＝２
分割多面体では１個の頂点に３本の辺が集まり，また１本の辺は２個の頂点を結ぶことから，
２ｅi＝３ｖi
また，集合多面体の頂点，辺，面，胞の数をそれぞれＶ，Ｅ，Ｆ，Ｃとすると
Σ（ｖi−ｅi＋ｆi）＝２Ｃ
空間分割の面の数などは一義的には決まらず，統計的にしか扱えないので，各多面体の平均頂点数，辺数，面数ｖ1，ｅ1，ｆ1とおくと
ｖ1Ｃ＝Σｖi，ｅ1Ｃ＝Σｅi，ｆ1Ｃ＝Σｆi
ｖ1Ｃ−ｅ1Ｃ＋ｆ1Ｃ＝２Ｃ
ｆ1≒１４が証明したい事柄である．なお，Ｖ≠Σｖi，Ｅ≠Σｅi，Ｆ≠Σｆiであることを注意しておく．
平均的多面体の各面をｐ角形，各頂点にｑ面が会するとし，各辺にｒ個の多面体（ｐ，ｑ）が集まるものとする．境界多面体（ｐ，ｑ）の平均的な頂点数，辺数，面数は（ｖ1，ｅ1，ｆ1）となる．また，頂点に集まる辺の中点を結んでできる多面体はｑ角形が１つの辺にｒ面会した多面体（ｑ，ｒ）になっていて，その図形は（ｖ2，ｅ2，ｆ2）で表されるものとする．
３次元の握手定理は多彩になって
ｆ1Ｃ＝２Ｆ，ｖ1Ｃ＝ｆ2Ｖ，ｖ2Ｖ＝２Ｅ，ｅ1Ｃ＝ｒＥ＝ｐＦ＝ｅ2Ｖ
であるが，仮定により
ｑ＝ｒ＝３，ｖ2＝４，ｅ2＝６，ｆ2＝４
であるから
ｆ1Ｃ＝２Ｆ，ｖ1Ｃ＝４Ｖ，４Ｖ＝２Ｅ，ｅ1Ｃ＝３Ｅ＝ｐＦ＝６Ｖ
これを
ｖ1Ｃ−ｅ1Ｃ＋ｆ1Ｃ＝２Ｃ
に代入すると
（２−ｐ／３）Ｆ＝２Ｃ
ｆ1＝２Ｆ／Ｃ＝１２／（６−ｐ）
ｖ1＝４Ｖ／Ｃ＝４／（ｐ／６−１）
ｅ1＝６Ｖ／Ｃ＝６／（ｐ／６−１）
ここで位相幾何学的証明でなく，計量的証明が必要になるのであるが，３次元空間充填であるためには，等式
ｃｏｓ（π／ｑ）＝ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｒ）
が成り立たなくてはならない．ｑ＝ｒ＝３を代入すると
ｓｉｎ（π／ｐ）＝ｃｏｔ（π／３）＝√（１／３）
ｐ＝５．１０４４・・・
ｆ1＝１３．３９８・・・＜１４
ｖ1＝２２．７９６・・・
となる．
なお，
Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝０
を用いても，
ｆ1＝２Ｆ／Ｃ＝１２／（６−ｐ）
を導き出すことは可能である．厳密にいうと
Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝１
であるが，何千という小さな泡の集合体を想定して，非常に多くの多面体を統計的に扱うので右辺は０としてかまわない．しかし，Ｖ−Ｅ＋Ｆ−Ｃ＝１を用いればもっとｆ1≒１４に近づくであろう．
実験的研究から多面体の面数は１４面，面の形は五角形がもっとも多いことが知られているが，理論的にもかなりよく符合する結果が得られ実験で得られた値を裏付ける１つの根拠を与えてくれるのである．
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【４】マラルディの角
［３］で２つの泡がくっついたとき，その境界も球面になり，この３つの球面の接合角度は１２０度となることを説明しましたが，石鹸膜の問題は表面積を最小にする問題ですから適切な平面による断面を考えることで［１］の問題の答えが適用できるといわけです．
また，互いに１２０°の角度で交わる石鹸膜の交線は
ａｒｃｃｏｓ（−１／３）＝１０９．４７１°
で接触します．正四面体の頂点から中心に向かう３枚の膜は互いに１２０°の角度をなし，中心に集まる４本の線は１０９．４７１°（マラルディの角）をなすのです．
１２０°と１０９．４７１°は石鹸膜が接触するときの基本的な角度ですが，ここで泡が内角１０９．４７１°の正多角形からなる正多面体とみなせば，面は
ｐ~＝３６０／１０９．４７１＝５．１０４
角形となります．
また，３ｖ＝ｐｆ，２ｅ＝ｐｆを，オイラーの多面体定理に代入すると
ｆ＝１３．３９，ｖ＝２２．７８，ｅ＝３４．１８
すなわち，泡の平均の姿は２２．７８個の頂点，３４．１８本の辺，１３．３９枚の面からなる面が５．１０４角形の立体となることがわかります．平均的な泡細胞は正１２面体にやや似たものになるというわけです．
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【５】カテノイドとアンデュロイド
プラトーの問題は変分法の問題となり，実際に解くのは大変難しいのですが，ここでは簡単に解ける問題を扱ってみることにします．
［Ｑ］互いに平行な２つの円形の枠に石けん膜を張ったとき，その形は？
［Ａ］答えは円筒ではなく円筒よりも表面積を小さくできるのですが，この問題は「y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積を最小にしたい．」と等価です．曲面の面積は
S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx
で与えられます．
懸垂線（カテナリー）の問題を変分法によって解いたのはベルヌーイであったのですが，これは懸垂線で考えた位置エネルギーの２π倍ですから，解は懸垂線を回転させたものであることが導かれます．
懸垂線は与えられた２点を両端とする一定の長さの曲線をｘ軸を軸として回転させたときにできる曲面の表面積を最小にする曲線であることがわかります．カテナリーを準線のまわりに回転させてできる曲面は懸垂曲面（カテノイド）と呼ばれます．なお，カテノイドは，唯一の回転極小曲面であることも示されています．
次に，
［Ｑ］互いに平行な２つの円盤に石けん膜を張ったとき，その形は？
を考えてみることにしましょう．
互いに平行な２つの円形の枠に石けん膜を張ったとき，膜の両側の気圧は等しい状態にあるのですが，平行な円形の枠を円盤に代えれば中に空気が閉じこめられるので，膜の両側に気圧差があり，解は極小曲面とはなりません．この場合は，中の空気が閉じこめられているため，その容積が一定という条件のもとでの面積の変分問題に対応しています．
実は，体積固定の表面積の変分問題は，平均曲率一定曲面に対応しています．曲面の各点で曲がり方が最もきつい方向と緩やかな方向がありますが，平均曲率とは２方向の曲率の相加平均で定義されます．すなわち，平均曲率が一定（≠０）の曲面は，体積一定のまま表面積を最小にすることによって得られるのですが，球面（シャボン玉）はその自明な例です．（一方，平均曲率が恒等的に０である曲面は極小曲面と呼ばれ，これがプラトー問題の数学的な定式化です．）
詳細は省略しますが，この問題の解はアンデュロイドと呼ばれるカテノイドとは別の平均曲率一定曲面になります．この曲面は楕円を直線上を転がしたときに，ひとつの焦点が描く波状の軌跡を直線のまわりに回転させたものになっています．
回転面で極小曲面は懸垂面（カテノイド）に限られるのですが，回転面で平均曲率一定曲面は球面とは限りません．このような曲面はドローネー曲面と呼ばれていますが，１８４１年，ドローネーは，平均曲率一定の回転面をすべて決定し，それが平面・円柱面・球面・懸垂面・アンデュロイド・ノドイドの６種に分類されることを示しました．回転面に限ると平均曲率一定曲面の数は意外に少ないのですが，これらはプラトーの回転面とも命名されています．
また，これらは円錐の切断面である２次曲線（円・楕円・線分・放物線・双曲線）を，サイクロイドのように基線上を転がしたときに，焦点の描く軌跡を基線を軸として回転させることによってできる回転面であることも証明されています．母線が円のとき直円柱面，楕円のときアンデュロイド，線分のとき球面，放物線のとき懸垂面，双曲線のときノドイドが得られます．
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