巡回多面体は単体的多面体である．

　ｎ次元コンパクト凸多面体（頂点数ｆ0）のｆjに関するモツキンの上限予想とは，多くとも頂点数ｆ0のｎ次元巡回多面体cyclic polytopeのそれであるというものである．＝ｆ0頂点のｎ多面体の中で，もっとも多い面をもつのは巡回多面体である．

　　ｆj≦（頂点数ｆ0のｎ次元巡回多面体cyclic polytopeのｆj）

　この上限予想はマクマレンによって１９７０年に証明され（マクマレンの上限定理），その後，スタンレーによって可換環論的再証明が与えられている．そこでは，ｆベクトルとｈベクトルの関係が母関数を使って大変見通しよく説明することができている．

　ファセット数は

ｎ＝２ｋのとき，ｆn-1＝ｆ0／（ｆ0−ｋ）・（ｆ0−ｋ，ｋ）

ｎ＝２ｋ＋１のとき，ｆn-1＝２（ｆ0−ｋ−１，ｋ）

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［１］ｋ個以下の頂点集合が面を構成しているｄ多面体をｋ近傍的ｄ多面体という．［ｄ／２］近傍的な多面体は，ｄ次元単体とｄ次元巡回多面体であるが，マクマレンの有名な上限定理は，近傍的な多面体を元に構成されていて，ｎ頂点のｄ多面体の中で最も多い面数をもつのは近傍的な多面体で，とくに巡回多面体より多くのファセットをもつことはできないのである．

［２］ｄゾーン多面体では

　　ｆk≦（ｄ，ｋ）ｆ0

という関係式が成り立つ．

［３］ｎ次単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　（−１）^(n-1)ｆk＝Σ(k,n-1)（−１）^j（ｊ＋１，ｋ＋１）ｆj

が成り立つ．また，このデーン・サマービル関係式の書き方はいくつかあるが

　　Σ(0,k)（−１）^k-j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj-1＝Σ(0,n-k)（−１）^n-k-j（ｎ−ｊ，ｋ）ｆj-1

　　ｆk-1＝Σ(k,n)（−１）^n-j（ｊ，ｋ）ｆj-1

［４］ｎ次単体的多面体に対するデーン・サマービル関係式から，

　　ｆk-1＝Σ(k,n)（−１）^n-j（ｊ，ｋ）ｆj-1

とくに

　　２ｆn-2＝ｎｆn-1

を導くことができる．

［５］ｎ次単体的多面体では，０≦ｋ≦［（ｎ−３）／２］に対して

　　ｆk＜ｆn-2-k

　　ｆk≦ｆn-1-k

が成り立つ．

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［雑感］ｄゾーン多面体では

　　ｆk≦（ｄ，ｋ）ｆ0

という関係式が成り立つことを忘れていたため，長々しい試行錯誤になっ手しまったが，オーバーフローの見積もりは計算する前から予言できることのようだ．

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