【１】ウォルステンホルムの定理

　ウォルステンホルムの定理（１８６２年）

　「ｐが２，３以外の素数ならば有限調和級数（既約分数）

　　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）

の分子はｐ^2で割り切れる．」

　たとえば，ｐ＝５のとき，この分数は２５／１２となり，その分子はｐ^2で割り切れる．この問題は素数ｐによる整除性ではなく，素数の平方ｐ^2による整除性なのでかなり難しい問題である．

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　「ｐ＞３が素数ならば

　　Ｓ＝（（ｐ−１）！）^2（１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2）

はｐで割り切れる．」

　「ｐが素数でｐ＞５であるときに限り，

　　１＋１／２^3＋１／３^3＋・・・＋１／（ｐ−１）^3

の分子はｐ^2で割り切れる」

　「ｐが素数でｐ＞７であるときに限り，

　　１＋１／２^4＋１／３^4＋・・・＋１／（ｐ−１）^4

の分子はｐで割り切れる」

　１８１９年，バベッジは

　　（２ｐ−１，ｐ−１）＝１　　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

に気づきましたが，１８６２年，ウォルステンホルムは

　　（２ｐ−１，ｐ−１）＝１　　　（ｍｏｄ　ｐ^3）

を証明したことになります．

　一般に，ｐを素数，ｋをｐ−１で割り切れない正の整数とするとき，

　　１＋１／２^k＋１／３^k＋・・・＋１／（ｐ−１）^k

の分子はｐで割り切れる

　＝１＋２^k＋３^k＋・・・＋（ｐ−１）^k

がｐで割り切れることが示されています．

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【２】ジューカ予想

　ｐが素数であれば，そのときに限って

　　１^p-1＋２^p-1＋３^p-1＋・・・＋（ｐ−１）^p-1＋１

はｐで割り切れる．

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