三次元の問題は正多面体のだけでもいろいろおもしろい課題があるようです．コラム「幾何学的不等式への招待（その３）」では多面体の等周問題「ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものは何か」を紹介しました．

　答えはｆ＝４，６，１２ではプラトンの正多面体，すなわち，正四面体，立方体，正十二面体が最小値をとります．しかし，ｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものは正八面体，ｆ＝２０で等周比の最小値をあたえるものは正二十面体ではありません．

　「正多面体に内接する最大の別の多面体は何か」という問題では５種類の正多面体の組み合わせは全部で２０通りありますが，立方体に内接する最大の正八面体の解答はいささか意外な結果になるのだそうです．

　三次元の問題はおもしといとはいっても一筋縄ではいかないところがあります．金原博昭さんから菱形二十面体と菱形十二面体（第２種）を白銀化した紙模型を送っていただき，実際に手にとって観察してみましたところ，私が紙の上に描いた拙い見取り図とはずいぶん違っていることがわかりました．間違った方程式を立てては計算時間を浪費してしまいましたが，まさしく百聞は一見にしかずということなのでしょう．

　今回のコラムでは菱形二十面体と菱形十二面体を白銀化した多面体の二面角についてまとめてみることにしますが，菱形三十面体の白銀化の場合とは違って，本質的には連立２次方程式の問題に帰着される問題なので簡単には計算できません．

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【１】菱形二十面体の長い対角線の白銀化

　４つのケースの中で唯一この問題だけが単一の２次方程式となり，手計算で解くことができました．結論だけをいうと，この多面体は長い対角線すべてが凹の凹４０面体であって，凹４０面体には４つの二面角があり，１２０°，１５１．２８１°のほかの残り２つは１７０．００３°，１１５．２８１°と計算されました．

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【２】菱形二十面体の短い対角線の白銀化

　この問題は連立３元２次方程式に帰着されるため，もはや手計算では解けません．そこで，阪本ひろむ氏にMathematicaで計算してもらいました．この多面体は凸４０面体であって，Mathematicaで計算してもらった頂点座標をもとにして二面角を計算すると，凹４０面体には５つの二面角があり，１６４．４７８°のほかの残り４つは１４９．５２°，１４３．８０６°，１３２．１４１°，１７０．５０６°と計算されました．

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【３】菱形十二面体（第２種）の長い対角線の白銀化

　長い対角線の白銀化は短い対角線の白銀化よりも簡単に解けます．この問題の場合は連立３元２次方程式に帰着されます．二面角１２０°の三角錐間の二面角は１５７．３５６となります．また，この多面体には長い対角線が凸になる辺が２箇所あり，そこでの二面角は１６７．４８６°になることがわかりました．この多面体には全部で６つの二面角があり，残り４つの二面角は１６４．２８４°，７４．９９４６°，１１１．９５５°，１６７．４８６°と計算されました．

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【４】菱形十二面体（第２種）の長い対角線の白銀化

　この問題は連立５元２次方程式に帰着されましたが，Mathematicaでメモリ不足にならず頂点座標を計算することができました．この多面体には短い対角線が凹になる辺が２箇所あり，そこでの二面角は１６９．３４°になることがわかりました．この多面体には全部で７つの二面角がありますが，これ以外はすべて凸で１６１．７０５°，１４３．７１５°，１６７．０６９°，１３８．５８５°，８０．５７１４°，１１４．７４８°となりました．

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【５】まとめ

　金原さんの言明［１］，［２］を検証してみたのですが，結論をいうと

［１］菱形二十面体を長い方の対角線で白銀化すると凹４０面体に，短い方の対角線で白銀化すると凸４０面体になる．菱形十二面体（第２種）を長い方の対角線で白銀化すると凸面を，短い方の対角線で白銀化すると凹面を生ずる．平面にならないことは予想通りであったが，凹凸が反対になる面を生ずることはいささか意外な結果であった．

［２］凸２４面体は凹６０面体以外に菱形二十面体を長い方の対角線で白銀化した凹３０面体にもはまりこむが，菱形十二面体（第２種）を長い方の対角線で白銀化した２４面体にはフィットしない．また，凸６０面体の凸部は凹２４面体，菱形二十面体を短い方の対角線で白銀化した凸４０面体，菱形十二面体（第２種）を短い方の対角線で白銀化した２４面体のいずれにもフィットしない．

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