今回のコラムでは菱形十二面体を黄金化した凸２４面体と凹２４面体，菱形三十面体を白銀化した凸６０面体と凹６０面体の二面角についてまとめてみたいと思います．

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【１】菱形多面体の頂点と二面角

　菱形の鋭角（acute）ｍ個と鈍角（obtuse）ｎ個が集まる頂点をａmｏnで表すことにすると，菱形の鋭角と鈍角の和は

　　ａ＋ｏ＝１８０°

ですから，頂点に４つ以上の鈍角が集まることは不可能です．頂点に集まる角がすべて鈍角である場合はｏ3で，菱形の鈍角が１２０°より小さいことが必要になります．

　ｏ＝１２０°（ａ＝６０°）の菱形では平面充填形となってしまいますから，ｏ3を有する菱形多面体の面は，正三角形を２個つなげた菱形（対角線の長さの比が１：√３）よりも太っていることが必要で，黄金比や１：√２の菱形などがその候補となるというわけです．

　また，この菱形（鋭角が６０°より大きい）が頂点に集まる角がすべて鋭角である場合は最大１頂点に５枚ですから，ａ3またはａ4またはａ5ということになります．また，鈍角と鋭角が混ざっている頂点がある場合，ａ＋ｏ＝１８０°ですから，ａ1ｏ1，ａ2ｏ2は存在し得ず，ａ3ｏ1，ａ2ｏ1，ａ1ｏ2のみが可能となります．

　実際には

　　扁長菱面体：ａ3＝２，ａ1ｏ2＝６

　　扁平菱面体：ａ2ｏ1＝６，ｏ3＝２

　　菱形十二面体：ａ4＝６，ｏ3＝８

　　菱形十二面体（第２種）：ａ4＝２，ａ3ｏ1＝４，ａ1ｏ2＝４，ｏ3＝４

　　菱形二十面体：ａ5＝２，ａ3ｏ1＝１０，ｏ3＝１０

　　菱形三十面体：ａ5＝１２，ｏ3＝２０

のようになっています．

　菱形三十面体からあるゾーン（菱形の連なった帯）を抜き取って押しつぶすと菱形二十面体，菱形二十面体からあるゾーンを抜くと菱形十二面体（第２種）になるので，これらは各面の対角線の長さの比が黄金比の菱形からなる一連のゾーン多面体と考えることができます．菱形３０面体→菱形２０面体の過程でいくつかのａ5は保持されるのですが，菱形２０面体→菱形１２面体（第２種）の過程ですべて消失してしまいます．そして，４個のｏ3だけが最後まで遺残します．

　　　　　　　黄金菱面体　　　　白銀菱面体　　　　

　　頂角 63.4350 70.5288

　　ａ3 72 75.5227

　　ａ2ｏ1 36,144 60,120

　　ａ1ｏ2 72,108 75.5227,104.477

　　ｏ3 144 120

　　ａ4 112.456 120

　　ａ3ｏ1 108,144 ×(124.101,144.16)

　　ａ5 144 ×(164.478)

　ａ3とａ1ｏ2，ｏ3とａ2ｏ1では同じ二面角が出現していますが，黄金菱面体ではさらにａ5とａ3ｏ1，ｏ3，ａ2ｏ1が同じになります．

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【２】黄金化による二面角

　前節より，長い対角線の黄金化による凸２４面体のＯ3の二面角は１４４°，短い対角線の黄金化による凹２４面体のａ4の二面角は１１２．４５６°になります．

　凸２４面体には１４４°のほかにもうひとつの二面角があって，それが１５１．２８１°です．凸２４面体は正八面体（二面角１０９．４７１°）の各面に二面角１４４°（底面に対する二面角２０．９０５２°）の三角錐を貼り付けたものですから，

　　１０９．４７１°＋２×２０．９０５２°＝１５１．２８１°

というわけです．１５１．２８１°の凸部は凹６０面体にぴったりはまりこむはまりこみます．

　一方，凹２４面体にも１１２．４５６°のほかにもうひとつ二面角があります．凹２４面体は立方体の各面に二面角１１２．４５６°（底面に対する二面角５１．８２７３°）の四角錐を貼り付けたものですから，

　　９０°＋２×５１．８２７３°＝１９３．６５５°

　　３６０°−１９３．６５５°＝１６６．３４５°

より，１６６．３４５°になります．

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【３】白銀化による二面角

　長い対角線の白銀化による凹６０面体のＯ3の二面角は１２０°，短い対角線の白銀化による凸６０面体のａ5の二面角は１６４．４７８°になります．

　凹６０面体には１２０°のほかにもうひとつの二面角があって，それが１５１．２８１°です．凹６０面体は正二十面体（二面角１３８．１９°）の各面に二面角１２０°（底面に対する二面角３５．２６４４°）の三角錐を貼り付けたものですから，

　　１３８．１９°＋２×３５．２６４４°＝２０８．７１９°

　　３６０°−２０８．７１９°＝１５１．２８１°

というわけです．１５１．２８１°の凹部は凸２４面体にぴったりはまりこむはまりこみます．

　一方，凸６０面体にも１６４．４７８°のほかにもうひとつ二面角があります．凸６０面体は正十二面体（二面角１１６．５６５°）の各面に二面角１４６．４７８°（底面に対する二面角１３．２８２５°）の五角錐を貼り付けたものですから，

　　１１６．５６５°＋２×１３．２８２５°＝１４３．１３°

になります．

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